[論文レビュー] Noncommutative deformations of sheaves and presheaves of modules

Eivind Eriksen|arXiv (Cornell University)|May 13, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、環付き空間上の層およびプレ層の加群の非可換変形理論を発展させ、代数上の加群のLaudalの変形理論を一般化する。グローバルHochschildコホホロジーを用いた障害理論を確立し、良い$τ$-アフィン開被覆に対して、準連接層およびプレ層の非可換変形函手が同型であることを証明する。これにより、スキームおよびD-スキーム上でプレ層の方法による具体的な計算が可能になる。

ABSTRACT

We describe a noncommutative deformation theory for presheaves and sheaves of modules that generalizes the commutative deformation theory of these global algebraic structures, and the noncommutative deformation theory of modules over algebras due to Laudal. In the first part of the paper, we describe a noncommutative deformation functor for presheaves of modules on a small category, and an obstruction theory for this functor in terms of global Hochschild cohomology. An important feature of this obstruction theory is that it can be computed in concrete terms in many interesting cases. In the last part of the paper, we describe noncommutative deformation functors for sheaves and quasi-coherent sheaves of modules on a ringed space $(X, \mathcal{A})$. We show that for any good $\mathcal{A}$-affine open cover $\mathsf{U}$ of $X$, the forgetful functor $\mathsf{QCoh}(\mathcal{A}) o \mathsf{PreSh}(\mathsf{U}, \mathcal{A})$ induces an isomorphism of noncommutative deformation functors. \emph{Applications.} We consider noncommutative deformations of quasi-coherent $\mathcal{A}$-modules on $X$ when $(X, \mathcal{A}) = (X, \mathcal{O}_X)$ is a scheme or $(X, \mathcal{A}) = (X, \mathcal{D})$ is a D-scheme in the sense of Beilinson and Bernstein. In these cases, we may use any open affine cover of $X$ closed under finite intersections to compute noncommutative deformations in concrete terms using presheaf methods. We compute the noncommutative deformations of the left $\mathcal{D}_X$-module $\mathcal{O}_X$ when $X$ is an elliptic curve as an example.

研究の動機と目的

• 代数上の加群の非可換変形理論を、環付き空間上のプレ層および層の加群へ拡張すること。
• グローバルHochschildコホホロジーを用いて、プレ層の非可換変形の障害理論を構築すること。
• 良いアフィン被覆の下で、準連接層およびプレ層の非可換変形函手が函手的に同型であることを確立すること。
• スキームおよびD-スキーム上で、アフィン被覆におけるプレ層レベルの方法を用いて非可換変形を具体的に計算可能にする。

提案手法

• 小さな圏上のプレ層の加群の非可換変形函手を形式化する。
• グローバルHochschildコホホロジー群を用いて、この函手の障害理論を構築する。
• 環付き空間$(X, \mathcal{A})$上の層および準連接層の非可換変形函手を定義する。
• 任意の良い$τ$-アフィン開被覆$\mathsf{U}$に対して、$\mathsf{QCoh}(\mathcal{A})$から$\mathsf{PreSh}(\mathsf{U}, \mathcal{A})$への忘却函手が、非可換変形函手の同型を誘導することを証明する。
• この枠組みを用いて、楕円曲線上の左$\mathcal{D}_X$-加群としての$\mathcal{O}_X$の非可換変形を計算する。
• 有限交叉について閉じたアフィン被覆を用いて、グローバルな変形問題を局所的なプレ層計算に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換変形理論を代数上の加群から、環付き空間上のプレ層および層の加群へどのように拡張できるか？
• RQ2 プレ層の非可換変形の障害理論は何か？ そして、Hochschildコホホロジーを用いて具体的に計算可能か？
• RQ3 どのような条件下で、環付き空間上の準連接層およびプレ層の非可換変形函手が一致するか？
• RQ4 スキームまたはD-スキーム上の準連接$\mathcal{A}$-加群の非可換変形は、アフィン被覆におけるプレ層レベルの方法を用いて計算可能か？
• RQ5 $X$が楕円曲線であるとき、左$\mathcal{D}_X$-加群としての構造層$\mathcal{O}_X$の非可換変形は何か？

主な発見

• 小さな圏上のプレ層の加群の非可換変形函手は、グローバルHochschildコホホロジーを用いて計算可能な障害理論を備えており、多くの場合に具体的な計算が可能である。
• 任意の良い$\mathcal{A}$-アフィン開被覆$\mathsf{U}$に対して、環付き空間$(X, \mathcal{A})$において、$\mathsf{QCoh}(\mathcal{A})$および$\mathsf{PreSh}(\mathsf{U}, \mathcal{A})$の非可換変形函手の間の同型が、忘却函手によって誘導される。
• スキーム$(X, \mathcal{O}_X)$およびD-スキーム$(X, \mathcal{D})$において、準連接$\mathcal{A}$-加群の非可換変形は、有限交叉について閉じた任意のアフィン開被覆を用いて、プレ層の方法により計算可能である。
• $X$が楕円曲線であるとき、左$\mathcal{D}_X$-加群$\mathcal{O}_X$の非可換変形が明示的に計算され、この枠組みの適用可能性が示された。
• プレ層の障害理論は、スキームやD-スキームなどの具体的な幾何的設定において効果的かつ計算可能である。
• 変形函手の同型は、準連接層上のグローバルな変形問題が、アフィン被覆上の局所的なプレ層計算に還元可能であることを示している。