[論文レビュー] Noncommutative Deformations of Type A Kleinian Singularities and Hilbert Schemes

Ian M. Musson|ArXiv.org|Apr 26, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換変形の型Aキーンリアン特異点とヒルベルトスキームを導来同値を介してカテゴリー的に結びつけるフィルター付き ℤⁿ⁻¹-代数 R を構成する。2つの主要な同値関係を確立する：R-qgr ≅ Uₖ-mod および grR-qgr ≅ Coh(Hilb_Γℂ²)。これは、巡回群 Γ の位数 n に対して、ゴードンとスタッフォードの予想を解決する。

ABSTRACT

Let $H_{\mathbf{k}}$ be a symplectic reflection algebra corresponding to a cyclic subgroup $Γ\subseteq SL_2 \C$ of order $n$ and $U_{\mathbf{k}} = eH_{\mathbf{k}} e$ the spherical subalgebra of $H_{\mathbf{k}}$. We show that for suitable ${\mathbf{k}}$ there is a filtered $\Z^{n-1}$-algebra $R$ such that (1) there is an equivalence of categories $R-\mathrm{qgr} \simeq U_{\bf k}$-mod, (2) there is an equivalence of categories $gr R-\mathrm{qgr} \simeq tt{Coh}(Hilb_Γ\mathbb{C}^2)$. Here $ tt{Coh}(Hilb_Γ\mathbb{C}^2)$ is the category of coherent sheaves on the $Γ$-Hilbert scheme. and for a graded algebra $\mathcal{R},$ we write $ \mathcal{R}-\mathrm{qgr}$ for the quotient category of finitely generated graded $\mathcal{R}$-modules modulo torsion.

研究の動機と目的

• 巡回群 Γ に対して、シンプレクティック反射代数とヒルベルトスキームの間のカテゴリー的関係を示唆したゴードンとスタッフォードの予想を解決すること。
• 球面的部分代数 Uₖ のモジュールカテゴリに同値である商カテゴリ R-qgr を持つフィルター付き ℤⁿ⁻¹-代数 R を構成すること。
• 関連する順序付き代数 grR-qgr が Γ-ヒルベルトスキーム Hilb_Γℂ² 上のコherent層のカテゴリ Coh(Hilb_Γℂ²) に同値であることを示すこと。
• モラータ理論およびポincare級数の議論を用いて、[GS1] の枠組みを巡回キーンリアン特異点の状況に拡張すること。
• ヒルベルトスキームを介したシンプレクティック反射代数の表現理論と、クリープント解体の幾何学の間の明確な対応関係を確立すること。

提案手法

• 位数 n の巡回群 Γ に対して、交叉積 ℂ[∂,y±¹]*Γ 内のシンプレクティック反射代数 Hₖ 及びその球面的部分代数 Uₖ を構成する。
• 微分作用素を用いて Uₖ′-Uₖ-両側加群 B(𝐤′,𝐤) を定義し、モラータ同値性の十分条件を確立する。
• 両側加群 B(𝐤′,𝐤) を、単位元を持たない ℤⁿ⁻¹-次数付きモラータ代数 R に組み合わせ、微分作用素の次数でフィルター化する。
• 関連する順序付き代数 grR を用いて、商カテゴリ grR-qgr を介して R の表現理論と Hilb_Γℂ² の幾何学を関連付ける。
• ポincare級数の議論を用いて、grR ≅ Ŝ であることを証明する。ここで Ŝ は、qgr-カテゴリが Coh(Hilb_Γℂ²) に同値であるトーリック環である。
• qgr 構成によるカテゴリ同値を活用し、モジュールのポincare級数を比較することで、グロテンディーク群における同型を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック反射代数 Hₖ に対して、R-qgr が Uₖ-mod に同値であるようなフィルター付き ℤⁿ⁻¹-代数 R を構成できるか？
• RQ2 この R の関連する順序付き代数 grR は、Γ-ヒルベルトスキーム Hilb_Γℂ² 上のコherent層のカテゴリ Coh(Hilb_Γℂ²) に同値になるか？
• RQ3 球面的代数 Uₖ′ と Uₖ 間の両側加群 B(𝐤′,𝐤) は、R 上のモラータ同値性構造にどのように寄与するか？
• RQ4 [GS1] におけるポincare級数の議論は、巡回キーンリアン特異点の状況にどの程度拡張可能か？
• RQ5 シンプレクティック反射代数 Hₖ の表現理論と、巡回群 Γ に対する Γ-ヒルベルトスキームの幾何学との間に、明確な代数的対応関係が存在するか？

主な発見

• 支配的パラメータ 𝐤 ∈ ℂⁿ⁻¹ に対して、フィルター付き ℤⁿ⁻¹-代数 R が存在し、R-qgr ≅ Uₖ-mod が成り立つ。これにより、非可換変形とモジュールカテゴリの間のカテゴリー的同値が確立される。
• 関連する順序付き代数 grR は、grR-qgr ≅ Coh(Hilb_Γℂ²) を満たし、R の表現理論と Γ-ヒルベルトスキームの幾何学を結びつける。
• 代数 R は、球面的部分代数 Uₖ′ と Uₖ 間のモラータ両側加群 B(𝐤′,𝐤) から構成され、ℤⁿ⁻¹-次数付きモラータ代数をなす。
• 2番目の同値関係の証明は、grR がトーリック環 Ŝ に同型であることを示すポincare級数の議論に依拠しており、その qgr-カテゴリは Coh(Hilb_Γℂ²) に同値である。
• この構成は [GS1] の枠組みを、巡回キーンリアン特異点の状況に一般化し、ゴードンとスタッフォードが提示した図式を完成させる。
• パrameter v(x) = ∏ᵢ₌₁ⁿ(x − aᵢ) で aᵢ = (n−i + kᵢ)/n のとき、球面的代数 Uₖ は Hodges の代数 T(v) に同型であり、Uₖ ≅ Uₛ·ₖ (s ∈ Sₙ₋₁) が成り立つ。これはドット作用に関する対称性を示している。