[論文レビュー] Noncommutative desingularization of orbit closures for some representations of $GL_n$

Jerzy Weyman, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$GL_n$-表現の軌道閉包、特に行列式的、対称的、パフリアン多様体を含め、部分旗多様体上の例外的コレクションを用いて非可換特異点解消を構成する。これらの非可換解消に対して明示的なクーヴィーと関係式を提供し、最大小数の行列式および対称行列の場合に非可換クリープント解消（NCCRs）として確立する。

ABSTRACT

We describe noncommutative desingularizations of determinantal varieties, determinantal varieties defined by minors of generic symmetric matrices, and pfaffian varieties defined by pfaffians of generic anti-symmetric matrices. For maximal minors of square matrices and symmetric matrices, this gives a non-commutative crepant resolution. Along the way, we describe a method to calculate the quiver with relations for any non-commutative desingularizations coming from exceptional collections over partial flag varieties.

研究の動機と目的

• 行列式的、対称的、パフリアン多様体を含め、$GL_n$作用による軌道閉包として現れる、行列式的・対称的・パフリアン多様体の非可換特異点解消を構成すること。
• 非可換クリープント解消（NCCRs）の枠組みを、より高いコランクを持つ行列式的多様体および対称的／パフリアンの場合に拡張すること。
• 部分旗多様体上の例外的コレクションから得られる非可換特異点解消のためのクーヴィーと関係式を計算する一般的手法を開発すること。
• 特異多様体上の連接層の導来カテゴリと、ティルティングバンドルの自己準同型代数上のモジュールカテゴリとの導来同倣を確立すること。
• 自己準同型代数が最大コhen-Macaulayであること、およびゴレンシュタインの場合に解消がクリープントであることを保証するために、最大性とコhen-Macaulay性を示すこと。

提案手法

• グラスマン多様体$\operatorname{Grass}(1,E)$上でのカプラノフの完全な強く例外的なコレクションを用い、グラスマン多様体上のベクトルバンドルの全空間にティルティングバンドルを構成する。
• 射影写像による例外的コレクションの逆像を用いて、対称テンソルランク多様体の特異点解消である$\mathcal{Z}^{(d)}_s$上のティルティング対象を定義する。
• 定理2.6を適用し、$\mathcal{Z}^{(d)}_s$上のティルティングバンドルの引き戻しがティルティング対象であることを示し、導来同倣を保証する。
• 自己準同型代数$\operatorname{End}_{\mathcal{Z}^{(d)}_s}(p^{\prime*}\mathscr{T}il_K)$を計算し、ボットの定理と表現論的分解を用いてコホモロジーの消滅を示し、それが最大コhen-Macaulayであることを証明する。
• 単純モジュールの$\operatorname{Ext}^t(S_i, S_j)$の計算によりクーヴィーと関係式を導出する。この計算には、ラインバンドル$\mathcal{Q}^*$および$\mathcal{R}^*$を備えた$\mathbb{P}^1$上のコホモロジー計算を用いる。
• リトルウッド＝リチャードソンおよびコーシー＝リトルウッドの公式を適用し、外積と対称積のテンソル積の分解を可能にし、正の次数におけるコホモロジーの消滅を示す議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $GL_n$-表現の軌道閉包、特に行列式的・対称的・パフリアン多様体に対して、非可換特異点解消を体系的に構成できるか？
• RQ2 ティルティングバンドルの自己準同型代数が、特異点解消された軌道閉包上で最大コhen-Macaulayである条件は何か？
• RQ3 部分旗多様体上の例外的コレクションから、非可換特異点解消のクーヴィーと関係式を明示的に計算する方法は何か？
• RQ4 非可換特異点解消がヴァン・デン・ベルクの意味での非可換クリープント解消（NCCR）として成立する条件は何か？
• RQ5 特異軌道閉包上の連接層の導来カテゴリと、自己準同型代数上のモジュールカテゴリとの導来同倣関係は何か？

主な発見

• ランク$\leq n-1$の対称テンソルランク多様体$X^{(d)}_s$に対して、$\mathcal{Z}^{(d)}_s$上のカプラノフのティルティングバンドルの引き戻しはティルティングバンドルであり、導来同倣を誘導する。
• 自己準同型代数$\operatorname{End}_{\mathcal{Z}^{(d)}_s}(p^{\prime*}\mathscr{T}il_K)$は、ボットの定理と表現論的分解を用いたコホモロジー消滅により、最大コhen-Macaulayであることが示された。
• $n=2$の場合、有理正規曲線の錐の非可換特異点解消のクーヴィーと関係式を明示的に計算した：2つの頂点に、$\alpha: E$、$\beta: \mathbb{L}_{d-1}E$という矢印があり、関係式は$\alpha\beta(\mathbb{L}_{(d-1,1)}E)$、$\beta\alpha(\mathbb{L}_{(d-1,1)}E)$である。
• この構成により、正方行列および対称行列の最大小数の行列式に対して非可換クリープント解消（NCCR）が得られ、自己準同型代数が最大コhen-Macaulayであり、導来同倣が成立するためである。
• この方法は、より高いコランクの行列式的多様体およびパフリアン多様体に一般化可能であり、部分旗多様体上の例外的コレクションからクーヴィーと関係式を体系的に計算する手法を提供する。
• 主な技術的道具は、シュール関手のテンソル積を解析し、正の次数におけるコホモロジーの消滅を示すために、コーシー＝リトルウッドおよびリトルウッド＝リチャードソンの公式を用いることである。