[論文レビュー] Noncommutative Ergodic Theorems

Anders Karlsson, François Ledrappier|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、固有距離空間上の等長写像の積に関して、非可換エルゴード理論を確立し、可積分な変位の下で、典型的な軌道が部分線形拡散を示すか、距離コンパクト化におけるランダム測地線の方向に収束することを示している。主な貢献は、古典的なバーキホフおよびキングマンのエルゴード定理を非可換設定に一般化したものであり、群上の確率的ランダムウォークおよびリーマン被覆上のブラウン運動への応用を含む。

ABSTRACT

We present recent results about the asymptotic behavior of ergodic products of isometries of a metric space X. If we assume that the displacement is integrable, then either there is a sublinear diffusion or there is, for almost every trajectory in X, a preferred direction at the boundary. We discuss the precise statement when X is a proper metric space and compare it with classical ergodic theorems. Applications are given to ergodic theorems for nonintegrable functions, random walks on groups and Brownian motion on covering manifolds.

研究の動機と目的

• 距離空間上での等長写像の積を含む非可換設定への古典的エルゴード定理の一般化。
• ランダム等長写像の軌道が距離コンパクト化において優勢な方向に収束するための条件の確立。
• 有限体積のリーマン被覆のリウヴィル性とブラウン運動およびランダムウォークの逸脱速度との関係の確立。
• 連続時間の拡散過程（ブラウン運動）の結果を、離散化によって離散時間のランダムウォークへと拡張。
• 局所コンパクトな群に固有距離が定義された場合、リウヴィル性が成り立つならば、ランダムウォークの線形ドリフトが完全にキャラクターによって生じることの証明。

提案手法

• 固有距離空間の距離コンパクト化を用いて、軌道の「無限における方向」の概念を定義する。
• ランダム等長写像の下での変位関数の列に、サブアドディティブエルゴード定理（キングマン）を適用する。
• フルステンベルク＝ライオンズ＝サリヴァンの離散化を活用し、リーマン被覆上のブラウン運動と基本群上のランダムウォークを関連付ける。
• 被覆上の有界調和関数が、群Γ上の調和関数に対応するような、Γ上に対称確率測度νを構成する。
• νの一次モーメントの存在と群距離の固有性を用いて、ランダムウォークの線形ドリフトの収束を保証する。
• ブラウン運動の逸脱速度がほとんど確実にゼロであることは、関連するランダムウォークのドリフトがゼロであることと同値であり、確率的および幾何的性質を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有距離空間上でのランダム等長写像の積が、距離コンパクト化において優勢な方向に収束する条件は何か？
• RQ2 サブアドディティブエルゴード定理は、等長写像を含む非可換設定にどのように一般化されるか？
• RQ3 有限体積のリーマン被覆のリウヴィル性と、その上でのブラウン運動の漸近的挙動との関係は何か？
• RQ4 有限体積のリーマン被覆上でのブラウン運動の逸脱速度は、基本群上のランダムウォークへの離散化によって特徴付けられるか？
• RQ5 リウヴィル性が成り立つ場合、局所コンパクト群上のランダムウォークの線形ドリフトが完全にキャラクターによって生じるような状況は何か？

主な発見

• 固有距離空間において、可積分な変位の下で、典型的な軌道は部分線形拡散を示すか、距離コンパクト化におけるランダム測地線の方向に収束する。
• CAT(0)空間では、軌道がランダム測地線の方向からO(1/n)の距離内に留まるという、レイト近似性質が成り立つ。
• 空間がグロモフ双曲的である場合、異なるR上の距離を用いることで、非可積分関数に対してもエルゴード定理が得られる。
• 有限体積のリーマン被覆のリウヴィル性は、ブラウン運動の線形ドリフトがほとんど確実にゼロであることに同値である。
• ブラウン運動の離散化によって得られるランダムウォークは一次モーメントを持ち、そのドリフトがゼロであることと、ブラウン運動の逸脱速度がゼロであることは同値である。
• 非可解群の場合は被覆はリウヴィルでなく、多可解群の場合は被覆はリウヴィルである。これは、新しい枠組みにより、既知の結果が確認された。