[論文レビュー] Noncommutative free universal monodromy, pluriharmonic conjugates, and plurisubharmonicity

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、連結な自由集合上の非可換自由関数の解析接続が、常に大域的に一意に定義されることを示す『自由普遍モノドロミー定理』を確立した。これにより、全純関数の共役が大域的に存在すること、局所的に可逆な関数が大域的に可逆であること、解析接続からの非自明なコhomologyが存在しないことが示される。さらに、Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcicの定理を一般化し、一様に実解析的自由関数が、凸関数と解析関数の合成の実部に一意に分解可能であることと、そのことがかつての定理の一般化であることを示した。

ABSTRACT

We show that the monodromy theorem holds on arbitrary connected free sets for noncommutative free analytic functions. Applications are numerous-- pluriharmonic free functions have globally defined pluriharmonic conjugates, locally invertible functions are globally invertible, and there is no nontrivial cohomology theory arising from analytic continuation on connected free sets. We describe why the Baker-Campbell-Hausdorff formula has finite radius of convergence in terms of monodromy, and solve a related problem of Martin-Shamovich. We generalize the Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcic theorem-- a uniformly real analytic free noncommutative function is plurisubharmonic if and only if it can be written as a composition of a convex function with an analytic function. The decomposition is essentially unique. The result is first established locally, and then Free Universal Monodromy implies the global result. Moreover, we see that plurisubharmonicity is a geometric property-- a real analytic free function plurisubharmonic on a neighborhood is plurisubharmonic on the whole domain. We give an analytic Greene-Liouville theorem, an entire free plurisubharmonic function is a sum of hereditary and antihereditary squares.

研究の動機と目的

• 連結な自由集合上の非可換自由解析関数に対して『自由普遍モノドロミー定理』を確立すること。
• 連結な領域上の擬複素関数が、大域的に定義された擬複素共役関数をもつことの証明。
• 局所的に可逆な自由関数が大域的に可逆であり、解析接続から非自明なコhomologyが生じないことを示すこと。
• Dym-Helton-Klep-McCullough-Volcicの定理を一般化し、一様に実解析的自由関数が、凸関数と解析関数の合成の実部として一意に分解可能であることを確立すること。
• 擬複素関数性が幾何的性質であること――ある点の近傍で擬複素関数であれば、その連結領域全体で擬複素関数であること――を示すこと。

提案手法

• 連結な自由集合内の任意の曲線に沿った解析接続が、自由集合の構造と一様解析性を用いて大域的に拡張可能であることを示すことにより、自由普遍モノドロミー定理を確立した。
• ヘンケル行列とべき級数展開を用いたアフィン実現により、導関数および共役導関数の振る舞いを分析した。
• 擬複素関数の分解は、解析的および共解析的関数、収縮的移行関数、正定値行列カーネルを含む実現式を用いて構成された。
• 局所的表現（補題3.3）に依拠し、解析的・共解析的・収縮的成分を用いた自由擬複素関数の標準的実現が得られた。
• 観察3.10により、実現が行列拡張に対しても拡張可能であり、レベルを越えて構造が保存された。これにより、モノドロミーを用いた大域的拡張が可能となった。
• 分解の一意性は、任意の2つの表現がユニタリ同値およびゴミ項の範囲で等価であることを示すことにより証明された。これには、標準形とユニタリ共役における不変性を利用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由逆関数定理のような代数的文脈において、自由普遍モノドロミーの原則は拡張可能か？
• RQ2 非特異な自由非可換関数が対数関数や平方根をもつための条件は何か？
• RQ3 自由非可換関数論における偏微分方程式の理論、特に存在性と一意性に関しては？
• RQ4 どのようなヘンケル型行列（べき級数係数）が幾何的正性を示し、その正性に関する一般定理は存在するか？
• RQ5 すべての自由擬複素関数は必然的に実解析的であるか、それとも一様でない実解析的関数である可能性はあるか？

主な発見

• 自由普遍モノドロミー定理は、任意の連結な自由集合で成立し、自由関数の解析接続が大域的に一意に定義されることを保証する。
• 連結な領域上の擬複素自由関数は、大域的に定義された擬複素共役関数をもつ。これにより、局所的障害が解消される。
• 局所的に可逆な自由関数は大域的に可逆であり、連結な自由集合上では解析接続から非自明なコhomologyが生じない。
• 一様に実解析的自由関数が擬複素関数であるための必要十分条件は、その関数が凸関数と解析関数の合成の実部に一意に分解可能であることである。
• 擬複素関数性は幾何的性質である。ある実解析的自由関数が点の近傍で擬複素関数であれば、その連結領域全体で擬複素関数である。
• すべての整関数の自由擬複素関数は、遺伝的および反遺伝的平方の和として表せることを示した。これは、解析的グリーン＝リウヴィル定理の自由版である。