[論文レビュー] Noncommutative Generalization of Wilson Lines

Petr Ivankov|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換被覆空間とモジュール平行移動を用いて、閉路の代わりにスペクトル三つ組への群作用を用いる非可換な一般化されたウィルソン線を導入する。ゲージ不変な観測量を非可換幾何学で構成するため、接続を普遍被覆に上げ、被覆変換群のユニタリ表現を用いてウィルソン線を定義する。非可換トーラス上での明示的構成により、平坦な接続がユニタリなホロノミーを与えることが示される。

ABSTRACT

A classical Wilson line is a cooresponedce between closed paths and elemets of a gauge group. However the noncommutative geometry does not have closed paths. But noncommutative geometry have good generalizations of both: the covering projection, and the group of covering transformations. These notions are used for a construction of noncommutative Wilson lines. Wilson lines can also be constructed as global pure gauge fields on the universal covering space. The noncommutative analog of this construction is also developed.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学におけるゲージの重複問題を、曲率に基づく不変量を超えたウィルソン線の一般化によって解決すること。
• 非可換幾何学に存在しない閉路の概念を、非可換被覆射影およびその変換群によって置き換えること。
• モジュール平行移動とスぺクトル三つ組を用いて、ウィルソン線の数学的に厳密な枠組みを構築すること。
• 平坦な接続と被覆群作用を用いて、非可換トーラス上での非可換ウィルソン線の明示的構成を提供すること。

提案手法

• 普遍被覆上でグローバルゲージ場を構成し、経路順序指数関数をねじれ境界条件に置き換えることで、古典的ウィルソン線を一般化する。
• 群 G が代数 eA 上に作用する非可換被覆射影 (A, eA, G, eA × A) を用いる。
• 一パラメータの自己同型群を用いて、射影的モジュール上のモジュール平行移動を定義し、経路順序指数関数を一般化する。
• 被覆変換群 G の表現を用いて、ヒルベルト空間上で被覆変換を実装するユニタリ作用素としてウィルソン線を構成する。
• 曲率がゼロである接続 ∇ が 1-形式 ω = i(cu du + cv dv) で定義される非可換トーラス Aθ にこの枠組みを適用する。
• 一パラメータ自己同型 ϕu, ϕv を普遍被覆に上げ、そのモノドロミーを群の生成子として特定し、ウィルソン線を e^{2πicu}, e^{2πicv} として得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学において閉路が存在しない場合、ウィルソン線はどのように一般化できるか？
• RQ2 閉路の代わりに用いる非可換基本群および被覆空間の非可換アナロジーは何か？
• RQ3 曲率だけでは不十分な場合、接続からゲージ不変な観測量をどのように構成できるか？
• RQ4 被覆変換群が非可換ウィルソン線を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ5 非可換トーラス上の平坦な接続は、古典的ウィルソンループを一般化するユニタリなホロノミーをどのように生じさせるか？

主な発見

• この論文は、ヒルベルト空間上で被覆変換を実装するユニタリ作用素として非可換ウィルソン線を構成し、古典的経路順序指数関数を一般化する。
• 平坦な接続 ∇ を持つ非可換トーラス Aθ に対して、被覆群 Z2×Z2 の生成子に対応するウィルソン線は、a ∈ Aθ に対して Wilson(gu,∇)(a) = e^{2πicua} で与えられる。
• 接続 ∇ の曲率はゼロであり、接続が平坦であることが確認され、ホロノミーが適切に定義されかつゲージ不変であることが保証される。
• 非可換トーラス Aθ の普遍被覆 eAθ は Z2×Z2 の作用を備え、ウィルソン線はこの群のヒルベルト空間上のユニタリ表現から生じる。
• 4次元自由モジュール E = Aθ^4 と接続 ∇ が ∇e1 = cu e2 ⊗du などと定義される場合、2つの生成子回りのホロノミーは、cos(2πcu), sin(2πcu) などを含むブロック対角行列で表される。
• この構成により、被覆群 Z2×Z2 から乗法的代数 M(eAθ) 上のユニタリ作用素への群準同型が得られ、ウィルソン線がユニタリ変換として明示的に実現される。