[論文レビュー] Noncommutative Generalized NS and Super Matrix KdV Systems from a Noncommutative Version of (Anti-) Self-Dual Yang-Mills Equations

Martin Legaré|ArXiv.org|Dec 8, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、非可換 $$\mathbb{E}^4$$ および $$\mathbb{E}^{(2,2)}$$ 空間上の非可換 (反-)自己双対ヤン・ミルズ (SDYM) 系の次元削減を用いて、非可換非線形シュレーディンガー方程式 (NS)、行列 KdV、およびスーパーカスプ KdV 方程式の一般化を導出する。Moyal変換を用いたゲージ場と双複体構造を用い、関連する線形系を構成し、無限個の保存量の存在を証明することで、非可換設定下での可積分性を確認する。

ABSTRACT

A noncommutative version of the (anti-) self-dual Yang-Mills equations is shown to be related via dimensional reductions to noncommutative formulations of the generalized (SO(3)/SO(2)) nonlinear Schrodinger (NS) equations, of the super-Korteweg- de Vries (super-KdV) as well as of the matrix KdV equations. Noncommutative extensions of their linear systems and bicomplexes associated to conserved quantities are discussed.

研究の動機と目的

• 古典的可積分系（非線形シュレーディンガー、行列 KdV、スーパーカスプ KdV）を非可換時空間へと拡張する。
• 次元削減を用いて、非可換 (反-)自己双対ヤン・ミルズ方程式と非可換可積分系との間の体系的関係を確立する。
• これらの非可換モデルに対して線形系（Laxペア）および双複体を構成し、無限個の保存量によって可積分性を保証する。
• Grassmann値をとるゲージ場と超代数を用いて、スパコンパクト KdV 系を非可換行列形式へ一般化する。
• 非可換変形下でも、双複体や保存密度といった可積分性の主要構造が保たれることを示す。

提案手法

• 標準的な場の乗法の代わりに Moyal 積を用いて、(反-)自己双対ヤン・ミルズ方程式の非可換版を定式化する。
• $\mathbb{E}^4$（非可換ユークリッド空間）および $\mathbb{E}^{(2,2)}$（非可換擬ユークリッド空間）への次元削減を、特定のゲージ場のアンザッツを用いて実行する。
• 零変数変換および複素化座標を用いて、削減された方程式の線形系（Laxペア）を構成する。
• 線形系の整合性条件から、非可換一般化 NS 方程式および行列 KdV 方程式を導出する。
• Grassmann値をとるゲージ場を導入し、奇数変数と $gl(2n/n)$ 超代数を用いた非可換スーパーマトリクス KdV 系を構成する。
• 双複体構造を用いて、無限個の保存密度を特定し、非可換モデルの可積分性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換 (反-)SDYM 系の次元削減を用いて、非可換一般化 NS、行列 KdV、およびスーパーカスプ KdV 方程式を導出可能か？
• RQ2 非可換設定下における双複体構造および線形系は、可積分性を保ち、無限個の保存量を生成するか？
• RQ3 Moyal 積は、Laxペアおよび整合性条件を保ったまま、古典的可積分系を非可換化するにあたり、果たす役割は何か？
• RQ4 Grassmann値をとるゲージ場を用いて、行列 KdV のスパコンパクト拡張を非可換時空間へ一般化できるか？
• RQ5 非可換スーパーカスプ KdV 系が非可換スパコンパクト変換に対して不変であることを示せるか？

主な発見

• 非可換一般化非線形シュレーディンガー方程式 (NS) および行列 KdV 方程式は、$\mathbb{E}^4$ および $\mathbb{E}^{(2,2)}$ 上の非可換 (反-)SDYM 方程式の次元削減として導出された。
• 非可換行列 KdV 方程式は $U_t = 3(U_x \ast U + U \ast U_x) + U_{xxx}$ の形を取り、$\ast$ は Moyal 積を表す。
• 非可換スーパーマトリクス KdV 系は、偶数場 $U$ および奇数 Grassmann 変数 $\phi$ を用い、$U_t = 3U_x \ast U + 3U \ast U_x + U_{xxx} - \frac{3}{2}\phi \ast \phi_{xx} + \frac{3}{2}\phi_{xx} \ast \phi$ を満たす。
• スーパーカスプ KdV 系は、非可換スパコンパクト変換 $\delta_\epsilon U = \epsilon \phi_x$, $\delta_\epsilon \phi = \epsilon U$（$\epsilon$ は Grassmann パarameter）に対して不変である。
• 導出されたすべての系に対して双複体構造が確立され、既知の変換法の非可換拡張を介して、無限個の保存密度と関連づけられた。
• 非可換 SDYM 方程式の線形系および整合性条件は、削減された可積分モデルの Lax ペアを再現し、非可換領域における可積分性を確認した。