[論文レビュー] Noncommutative Geometry Approach to Principal and Associated Bundles

Paul Baum, Piotr M. Hajac+2 more|ArXiv.org|Dec 31, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、C*-代数における密度条件を用いて自由かつ固有な群作用を特徴づけ、ファイバー積における断片的自明性を導入することで、主 bundle や関連 bundle の非可換幾何学的枠組みを確立する。関連ベクトル bundle の切断のモジュールが余テンソル積であることを示し、ホイットニーのホップ fibration 上のディラックモノポールに対して、チェーン特徴子ペアリングを計算し、表現の負の巻き数と一致することを示している。

ABSTRACT

We recast basic topological concepts underlying differential geometry using the language and tools of noncommutative geometry. This way we characterize principal (free and proper) actions by a density condition in (multiplier) C*-algebras. We introduce the concept of piecewise triviality to adapt the standard notion of local triviality to fibre products of C*-algebras. In the context of principal actions, we study in detail an example of a non-proper free action with continuous translation map, and examples of compact principal bundles which are piecewise trivial but not locally trivial, and neither piecewise trivial nor locally trivial, respectively. We show that the module of continuous sections of a vector bundle associated to a compact principal bundle is a cotensor product of the algebra of functions defined on the total space (that are continuous along the base and polynomial along the fibres) with the vector space of the representation. On the algebraic side, we review the formalism of connections for the universal differential algebras. In the differential geometry framework, we consider smooth connections on principal bundles as equivariant splittings of the cotangent bundle, as 1-form-valued derivations of the algebra of smooth functions on the structure group, and as axiomatically given covariant differentiations of functions defined on the total space. Finally, we use the Dirac monopole connection to compute the pairing of the line bundles associated to the Hopf fibration with the cyclic cocycle of integration over S^2.

研究の動機と目的

• 古典的微分幾何学と非可換幾何学を結ぶために、主 bundle 及び関連 bundle を C*-代数の言語で再定式化すること。
• 乗法的 C*-代数における密度条件を用いて主作用を定義し、古典的な自由かつ固有な作用の概念を一般化すること。
• ファイバー積の C*-代数の文脈において、局所自明性の代替として断片的自明性を導入すること。
• コールゲブラ上での余テンソル積として、主 bundle に付随するベクトル bundle の連続的または滑らかな切断のモジュールを特徴づけること。
• S² 上での積分の循環コホモロジー形式とホイットニーのホップ fibration に付随するライン bundle のペアリングを計算し、表現の巻き数に関連付けること。

提案手法

• 非可換設定における主 bundle 及びベクトル bundle の接続を形式化するために、普遍微分計算および代数を用いる。
• 有限生成の射影モジュールとコンパクト空間上のベクトル bundle の関係を、セール＝スワンの定理およびピーター＝ウェイル理論を用いて関係づける。
• C*-代数の乗法的代数における密度条件を用いて主作用を定義し、位相的自由かつ固有な作用の概念を一般化する。
• ファイバー積の C*-代数において、局所自明性の一般化として断片的自明性を導入する。
• 接続を余接 bundle の G-不変な分解および構造群上の滑らかな関数代数上の 1-形式値の導分として構成する。
• ホイットニーのホップ fibration 上のディラックモノポール接続を用いて、S² 上での積分の循環コホモロジー形式とのチェーン特徴子ペアリングを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトハウスドルフ空間上の自由かつ固有な群作用は、C*-代数の言語だけでどのように特徴づけられるか？
• RQ2 C*-代数のファイバー積における、局所自明性の非可換アナロジーは何か？ そして、古典的自明性とどのように関係するか？
• RQ3 主 bundle に付随するベクトル bundle の切断モジュールは、非可換設定においてどのように代数的に記述できるか？
• RQ4 関連ベクトル bundle のチェーン特徴子と、非可換枠組みにおける循環コホモロジーのペアリングとの関係は何か？
• RQ5 ホイットニーのホップ fibration 上のディラックモノポール接続は、表現の巻き数と一致する位相的不変量をどのように得るか？

主な発見

• コンパクトな主 bundle に付随するベクトル bundle の連続切断のモジュールは、全空間上の関数（底空間に沿って連続で、ファイバーに沿って多項式的）と表現空間との間の余テンソル積と同型である。
• 連続的移動写像を持つ非固有な自由作用の例を構成し、標準的な自明性の性質が固有性に依存することを示している。
• 断片的自明ではあるが局所自明でないコンパクト主 bundle を示し、また断片的でも局所でも自明でないものも示しており、これらの概念が独立していることを実証している。
• ホイットニーのホップ fibration に付随するライン bundle と S² 上での積分の循環コホモロジー形式とのチェーン特徴子ペアリングは、表現の巻き数の負値に一致し、位相的不変性を確認している。
• ホイットニーのホップ fibration 上の接続形式 ω は、射影子 p_{-1} によって定義されるグレースマン接続と一致する共変微分を誘導し、非可換形式主義の整合性を裏付けている。