[論文レビュー] Noncommutative geometry of the Moyal plane: translation isometries, Connes' spectral distance between coherent states, Pythagoras equality

Pierre Martinetti, Luca Tomassini|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンスの非可換幾何学枠組みを用いてモーヤル平面の計量構造を調査し、平行移動および二重モーヤル平面におけるコンスのスペクトル距離を計算する。スレッドは、状態とその平行移動との間のスペクトル距離が移動量に等しくなることを示し、コherent状態の間の距離はユークリッド距離にプランク長さをスケーリングしたものに等しくなる。二重モーヤル平面では、距離がピタゴラスの定理を満たし、最適局在化状態に対してDFR量子時空モデルと整合的である。

ABSTRACT

We study the metric aspect of the Moyal plane from Connes' noncommutative geometry point of view. First, we compute Connes' spectral distance associated with the natural isometric action of R^2 on the algebra of the Moyal plane A. We show that the distance between any state of A and any of its translated is precisely the amplitude of the translation. As a side result, we obtain the spectral distance between coherent states of the quantum harmonic oscillator as the Euclidean distance on the plane, multiplied by the Planck length. Second, we compute the spectral distance in the double Moyal plane, intended as the product - in the sense of spectral triples - of (the minimal unitization of) A by C^2. On the set of states obtained by translation of an arbitrary state of A, this distance is given by Pythagoras theorem. Applied to the Doplicher-Fredenhagen-Roberts model of quantum spacetime [DFR], these two theorems show that Connes' spectral distance and the DFR quantum length coincide on the set of states of optimal localization. On the way, we also prove some Pythagoras inequalities for the product of arbitrary unital & non-degenerate spectral triples. Some of the results of this paper can be thought as a continuation of arXiv:0912.0906, as well as a companion to arXiv:1106.0261.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学におけるコンスのスレクトル距離を用いて、モーヤル平面の計量的性質を分析すること。
• 平行移動等長変換がモーヤル代数におけるスレクトル距離に与える影響を特定すること。
• 量子調和振動子のコherent状態間のスレクトル距離を求める。また、プランク長さと関係付けること。
• 解析を二重モーヤル平面に拡張し、ピタゴラス型の距離式を導出すること。
• 最適局在化状態に対して、コンスのスレクトル距離がDFR量子時空モデルと整合することを示すこと。

提案手法

• R^2の自然な等長作用を用いて、モーヤル代数Aにおけるコンスのスレクトル距離を計算する。
• Aの最小ユニタリ化にスレクトル三重項形式を適用し、C^2との積を用いて二重モーヤル平面を構成する。
• 状態とその平行移動版との間のスレクトル距離を導出し、移動ベクトルの大きさに等しいことを示す。
• 量子調和振動子のコherent状態をテスト状態として用い、モーヤル平面の計量を介してそのスレクトル距離を計算する。
• スレクトル三重項の積構成を適用し、二重モーヤル平面におけるピタゴラス不等式を導出する。
• 結果をDFR量子時空モデルと比較し、最適局在化状態に対して一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然なR^2作用の下で、モーヤル平面の状態とその平行移動版との間のスレクトル距離は何か？
• RQ2 量子調和振動子のコherent状態間のスレクトル距離は、プランク長さおよびユークリッド幾何学とどのように関係するか？
• RQ3 二重モーヤル平面におけるスレクトル距離は、独立な平行移動によって得られた状態に対してピタゴラス型の関係を満たすか？
• RQ4 コンスのスレクトル距離は、どの程度DFR量子時空モデルにおける量子長さを再現するか？
• RQ5 任意のユニタリかつ非退化なスレクトル三重項の積に対して、ピタゴラス不等式を確立できるか？

主な発見

• 任意のモーヤル平面の状態とその平行移動版との間のスレクトル距離は、移動ベクトルの大きさに等しい。
• コherent状態間のスレクトル距離は、平面内のユークリッド距離にプランク長さを乗じたものに等しい。
• 二重モーヤル平面では、独立した平行移動によって得られた状態間のスレクトル距離はピタゴラスの定理を満たす。
• 最適局在化状態に対して、モーヤル平面におけるコンスのスレクトル距離は、DFR量子時空モデルで定義された量子長さと一致する。
• 本稿では、任意のユニタリかつ非退化なスレクトル三重項の積に対して一般のピタゴラス不等式を確立した。