[論文レビュー] Noncommutative geometry on trees and buildings

Gunther Cornelissen, Matilde Marcolli+2 more|ArXiv.org|Apr 5, 2006

Advanced Operator Algebra Research被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、安定化されたグラフC*-代数および高ランクCuntz–Krieger代数を用いた、スティルト・サムラブル構成の精密化により、木およびビルディング上の非可換幾何における有限和可能スペクトル三重対を構成する。主な貢献は、ムムフォルト曲線および高ランクビルディングに対して有限和可能スペクトル三重対を構成し、コンネス–モスコビチの局所インデックス公式を用いてゼータ関数不変量を導出可能にする点である。

ABSTRACT

We describe the construction of theta summable and finitely summable spectral triples associated to Mumford curves and some classes of higher dimensional buildings. The finitely summable case is constructed by considering the stabilization of the algebra of the dual graph of the special fiber of the Mumford curve and a variant of the Antonescu-Christensen spectral geometries for AF algebras. The information on the Schottky uniformization is encoded in the spectral geometry through the Patterson-Sullivan measure on the limit set. Some higher rank cases are obtained by adapting the construction for trees.

研究の動機と目的

• ムムフォルト曲線のためのスティルト・サムラブルスペクトル三重対を、グラフC*-代数の安定化を用いて有限和可能なものへと精錬すること。
• 木およびクライン群からの非可換幾何を、高ランクユークリッド的および双曲的ビルディングへ一般化すること。
• ゼータ関数およびコンネス–モスコビチの局所インデックス公式を用いて幾何的不変量を抽出するための枠組みを確立すること。
• ブルア・ティットの型$\tilde{A}_2$ビルディングに関連する高ランクCuntz–Krieger代数へのスペクトル三重対構成を拡張すること。
• ビルディングに関連するAF代数の安定化が、有限和可能スペクトル三重対を導くことを示し、単位元を持つ場合の一般化を行うこと。

提案手法

• 非単位元のAF代数に対するAntonescuとChristensenの構成を、安定化されたグラフC*-代数設定において有限和可能性を達成するように適応する。
• シュットキー群が極限集合に作用する場合に、$\mathcal{A} = C(\Lambda_\Gamma) \rtimes \Gamma$ としてのクロス積代数を用い、これをCuntz–Krieger代数$O_A$に同定する。
• ヒルベルト空間$\mathcal{H} = \mathcal{L} \oplus \mathcal{L}$と、$F$をコピーを入れ替えるフリップ作用素とするディラック作用素$\mathcal{D} = FD$を定義する。
• 単位元作用素$T_{\gamma^{-1}}$を用いて、$\mathcal{A}$を$\mathcal{H}$上に表現し、代数的部分代数$\mathcal{A}_0$を保存する。
• コhomologyを計算し、スペクトル三重対の公理を検証するために、$\mathcal{S}_T = (\mathcal{S} \times \mathbb{R}) / \mathbb{Z}$によるホモトピー商構成を適用する。
• $r$次元の語および遷移行列$A_j$を用いて、高ランクビルディングへと枠組みを拡張し、高ランクCuntz–Krieger代数$O_{A_1,\ldots,A_r}$を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ムムフォルト曲線のためのスティルト・サムラブルスペクトル三重対は、グラフC*-代数の安定化を用いて有限和可能なものへとアップグレード可能か？
• RQ2 木上の非可換幾何は、どのように高ランクユークリッド的および双曲的ビルディングへ一般化可能か？
• RQ3 高ランクCuntz–Krieger代数は、型$\tilde{A}_2$のビルディングに対して有限和可能スペクトル三重対を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 コンネス–モスコビチの局所インデックス公式は、算術的曲面およびビルディングから生じる非可換空間の不変量に適用可能か？
• RQ5 遷移行列における適合条件(H0)–(H3)は、高ランク設定において、適切に定義されたスペクトル三重対の存在を保証する程度はどの程度か？

主な発見

• 本稿は、ムムフォルト曲線の特別ファイバーの双対グラフの安定化されたグラフC*-代数に対して、有限和可能スペクトル三重対を構成する。
• グラフに関連するAF代数の安定化により、有限和可能性が達成され、コンネス–モスコビチのインデックス公式の適用が可能になる。
• スペクトル三重対は、$\mathcal{A} = \mathcal{B} \rtimes \Gamma$ としてのクロス積により実現され、ここで$\mathcal{B}$は極限集合上の局所定数関数の代数である。
• 型$\tilde{A}_2$の高ランクビルディングに対して、$C(\Lambda) \rtimes \Gamma$ は高ランクCuntz–Krieger代数$O_{A_1,A_2}$に同型であり、適合条件を満たす。
• AF代数$\overline{\mathcal{F}}_{A_1,\ldots,A_r}$の安定化により、非単位元のAF代数が得られ、これは有限和可能スペクトル三重対を支える。
• すべての$a \in \mathcal{A}_0$に対して、$[D, a]$が有界であることが確認され、非単位元設定におけるスペクトル三重対の公理が検証される。