[論文レビュー] Noncommutative Gravity and Quantum Field Theory on Noncommutative Curved Spacetimes

Alexander Schenkel|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 43被引用数 11

ひとこと要約

本学位論文は、変形量力学とホップ代数の手法を用いて、非可換重力および曲がった時空上の量子場理論のためのフレームワークを開発する。非可換重力への対称性削減の拡張、アーベル型ドリンフェルト・ツイストを用いたフレドマン＝ロバートソン・ウォーカー時空およびシュバルツシルト時空の整合性のある変形の分類、非局所的かつUV改善型のダイナミクスを有する代数的量子場理論の構築が行われる。主な結果として、古典的計量と一致する正確な非可換解、および非自明な λ²補正を有する変形されたグリーン関数作用素が得られる。

ABSTRACT

The focus of this PhD thesis is on applications, new developments and extensions of the noncommutative gravity theory proposed by Julius Wess and his group. In part one we propose an extension of the usual symmetry reduction procedure to noncommutative gravity. We classify in the case of abelian Drinfel'd twists all consistent deformations of spatially flat Friedmann-Robertson-Walker cosmologies and of the Schwarzschild black hole. The deformed symmetry structure allows us to obtain exact solutions of the noncommutative Einstein equations in many of our models. In part two we develop a new formalism for quantum field theory on noncommutative curved spacetimes by combining methods from the algebraic approach to quantum field theory with noncommutative differential geometry. We also study explicit examples of deformed wave operators and find that there can be noncommutative corrections even on the level of free field theories. The convergent deformation of simple toy models is investigated and it is found that these theories have an improved behaviour at short distances, i.e. in the ultraviolet. In part three we study homomorphisms between and connections on noncommutative vector bundles. We prove that all homomorphisms and connections of the deformed theory can be obtained by applying a quantization isomorphism to undeformed homomorphisms and connections. The extension of homomorphisms and connections to tensor products of bimodules is clarified. As a nontrivial application of the new mathematical formalism we extend our studies of exact noncommutative gravity solutions to more general deformations.

研究の動機と目的

• . 非可換アインシュタイン方程式の正確な解を構成するため、非可換重力への対称性削減を拡張する。
• . 非可換曲がった時空上での量子場理論の厳密な代数的形式主義を構築する。
• . 量子化同型写像を用いた非可換ベクトルバンドル上の接続および準同型写像の数学的枠組みを確立する。
• . アーベル型ドリンフェルト・ツイストを用いて、FRW やシュバルツシルトのような対称的時空の整合性のある非可換変形を分類する。
• . Moyal-Weyl変形を超えた非可換補正が自由場理論にどのように現れるか、およびそれらがUV挙動に与える影響を調査する。

提案手法

• . アーベル型ドリンフェルト・ツイストによる変形量力学を用いて、古典的時空幾何を変形する。
• . 量子化同型写像を用いて、元の状態の準同型写像および接続を非可換設定に持ち上げる。
• . ねじれた微分計算を用いて、非可換曲がった時空上でのスカラーQFTの観測量代数を構築する。
• . 波動作用素の摂動展開を用いて、O(λ²)まで変形されたグリーン作用素を導出する。
• . 図式的ブレード群技法を用いて、Rテンソル積の結合則を証明する。
• . 量子化同型写像を通じて、変形されたと元の量子場理論の明確な関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 非可換重力に一般化された対称性削減を用いて、非可換アインシュタイン方程式の正確な解をどのように得られるか。
• RQ2 . アーベル型ドリンフェルト・ツイストの下で、空間的に平坦なFRW時空およびシュバルツシルト時空の整合性のある非可換変形は何か。
• RQ3 . 曲がった時空上での自由量子場理論における非可換補正はどのように現れ、UV挙動を改善するか。
• RQ4 . 非可換微分幾何学を用いて、非可換曲がった時空上に厳密な代数的量子場理論をどのように定式化できるか。
• RQ5 . 非可換ベクトルバンドル上の接続および準同型写像は、量子化の下でどのように変化し、そのグローバル構造は何か。

主な発見

• . いくつかの正確な解において、非可換計量場は非自明な非可換変形があるにもかかわらず、古典的計量と一致する。
• . 変形されたグリーン作用素は非自明な O(λ²)補正を示し、ミンコフスキー時空において運動量空間で明示的な表現が得られる。
• . 変形された波動作用素はコンパクトに変形されていないが、赤方偏移正則化なしにグリーン作用素が存在し、コンパクト性仮定は十分ではあるが、必要ではないことが示される。
• . 変形されたと元の量子場理論の間の関係は非自明であり、非可換QFTにおいてUV挙動が改善される。
• . 全ての非可換準同型写像および接続は、それらの古典的類似物に量子化同型写像を適用することで得られる。
• . Rテンソル積および関連するブレード関係は、図式的証明により示され、代数的計算に代わるより直感的な代替手段が得られる。