[論文レビュー] Noncommutative hyperbolic geometry on the unit ball of $B(H)^n$

Gelu Popescu|ArXiv.org|Oct 3, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、自由生成作用素に関連する再構成作用素を介して定義される、B(H)^n 内の非可換単位球上の非可換双曲的距離 δ を導入する。この距離は自由正則自己同型の下で不変であり、作用素ノルムと同一の位相を誘導し、球を完備距離空間にする。主な結果は、非可換 Schwarz-Pick補題である：収縮的自由正則関数は距離 δ に関して距離を縮小する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a hyperbolic distance $δ$ on the noncommutative open ball $[B(H)^n]_1$, where $B(H)$ is the algebra of all bounded linear operators on a Hilbert space $H$, which is a noncommutative extension of the Poincare-Bergman metric on the open unit ball of $C^n$. We prove that $δ$ is invariant under the action of the group $Aut([B(H)^n]_1)$ of all free holomorphic automorphisms of $[B(\cH)^n]_1$, and show that the $δ$-topology and the usual operator norm topology coincide on $[B(H)^n]_1$. Moreover, we prove that $[B(H)^n]_1$ is a complete metric space with respect to the hyperbolic metric and obtained an explicit formula for $δ$ in terms of the reconstruction operator. A Schwarz-Pick lemma for bounded free holomorphic functions on $[B(H)^n]_1$, with respect to the hyperbolic metric, is also obtained.

研究の動機と目的

• B(H)^n の単位球上で、Poincaré-Bergman 双曲的距離の非可換類似を構築すること。
• 非可換球の自由正則自己同型の下で不変である双曲的距離 δ を確立すること。
• δ が作用素ノルムと同一の位相を誘導し、非可換球を完備距離空間にするようにすること。
• 収縮的自由正則関数に対して非可換 Schwarz-Pick 補題を証明すること。
• Harnack 部分と自由関数論を用いて、古典的双曲幾何を非可換設定に一般化すること。

提案手法

• 非可換単位球を、||∑XᵢXᵢ*||^{1/2} < 1 を満たす n-組 (X₁,…,Xₙ) ∈ B(H)^n の集合として定義する。
• 右生成作用素 Rᵢ がフル Fock 空間上に作用するとき、再構成作用素 R_X = ∑Xᵢ*⊗Rᵢ を用いて双曲的距離 δ を定義する。
• 非可換球の自由正則自己同型群の下で δ が不変であることを証明する。
• δ 位相が非可換球上での作用素ノルム位相と一致することを示す。
• δ に関するコーシー列が収束することを証明することで、非可換球が δ に関して完備であることを確立する。
• 再構成作用素 R_X のスペクトル半径を用いた δ の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 B(H)^n 内の非可換単位球上に、C^n 上の Poincaré-Bergman 距離を一般化する双曲的距離が存在するか？
• RQ2 この双曲的距離 δ は、非可換球の自由正則自己同型群の作用に関して不変か？
• RQ3 δ 位相は非可換球上での標準的作用素ノルム位相と一致するか？
• RQ4 非可換球は双曲的距離 δ に関して完備か？
• RQ5 収縮的自由正則関数に対して、非可換 Schwarz-Pick 補題を確立できるか？

主な発見

• 双曲的距離 δ は自由正則自己同型群に関して不変である：任意の Ψ ∈ Aut([B(H)^n]₁) に対して δ(Ψ(X),Ψ(Y)) = δ(X,Y) が成り立つ。
• δ 位相と作用素ノルム位相は [B(H)^n]₁ 上で一致する。
• 非可換単位球 [B(H)^n]₁ は双曲的距離 δ に関して完備距離空間である。
• 再構成作用素 R_X に関連する右生成作用素を用いて、δ の明示的公式が与えられる。
• H = C のとき、距離 δ は C^n の単位球上での古典的 Poincaré-Bergman 距離と一致する。
• 非可換 Schwarz-Pick 補題が成立する：任意の収縮的自由正則関数 F に対して、すべての X,Y ∈ [B(H)^n]₁ に対して δ(F(X),F(Y)) ≤ δ(X,Y) が成り立つ。