[論文レビュー] Noncommutative Lattices as Finite Approximations and Their Noncommutative Geometries

A. P. Balachandran, Giuseppe Bimonte+5 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 1995

Advanced Operator Algebra Research参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、部分順序集合（posets）を用いて位相を符号化する非可換C*-代数を通じて、連続多様体の有限近似として非可換ラティスを導入する。これは、有限の位相的近似と非可換幾何学の橋渡しをし、このような代数が離散空間上での一貫性のある量子物理学を可能にするとともに、有限で位相的に忠実な量子場理論の枠組みを提供する。

ABSTRACT

Lattice discretizations of continuous manifolds are common tools used in a variety of physical contexts. Conventional discrete approximations, however, cannot capture all aspects of the original manifold, notably its topology. In this paper we discuss an approximation scheme due to Sorkin which correctly reproduces important topological aspects of continuum physics. The approximating topological spaces are partially ordered sets (posets), the partial order encoding the topology. Now, the topology of a manifold $M$ can be reconstructed from the commutative C*-algebra $\cc(M)$ of continuous functions defined on it. In turn, this algebra is generated by continuous probability densities in ordinary quantum physics on $M$. The latter also serve to specify the domains of observables like the Hamiltonian. For a poset, the role of this algebra is assumed by a noncommutative C$^*$-algebra $\ca $. This fact makes any poset a genuine `noncommutative' (`quantum') space, in the sense that the algebra of its `continuous functions' is a noncommutative C$^*$-algebra. We therefore also have a remarkable connection between finite approximations to quantum physics and noncommutative geometries. We use this connection to develop various approximation methods for doing quantum physics using $\ca$.

研究の動機と目的

• 連続多様体の有限近似スキームを構築し、位相的構造を保存するが、従来のラティス離散化の限界を克服すること。
• Sorkinの位相的近似で用いられるposetsが、自然に非可換C*-代数を生じさせることを示し、それらを量子的または非可換空間として扱えるようにすること。
• 有限近似と非可換幾何学との間の関係を確立し、離散的構造上での一貫性のある量子物理学を可能にすること。
• 非可換代数を用いて、有限で位相的に忠実なラティス上での観測量とハミルトニアンの構築のための枠組みを提供すること。
• poset上の連続関数の代数が非可換であることを示し、Connesの意味での真正の非可換空間として実現されることを示すこと。

提案手法

• Sorkinの多様体のposetに基づく近似を用い、部分順序が位相的構造を符号化する。
• 多様体M上の連続関数の可換C*-代数C(M)を、posetに関連する非可換C*-代数Aに置き換える。
• posetの位相から非可換代数Aを構築し、元の多様体の主要な位相的不変量を捉えるようにする。
• 非可換幾何学の道具を用いて、非可換ラティス上での微分構造、計量、観測量を定義する。
• 代数Aを用いて、ハミルトニアンなどの作用素の定義域を定義し、量子物理的要請と整合性を保つ。
• 非可換代数Aが、スペクトル的および幾何的データを含む、連続的物理の有限で位相的に忠実な近似を可能にすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来のラティスよりも、多様体の有限近似が位相的不変量をよりよく保存できるか？
• RQ2 poset構造をどのようにして、連続関数の代数の量子的アナログとして機能する非可換C*-代数に定義できるか？
• RQ3 量子場理論の文脈において、有限位相的近似と非可換幾何学との関係は何か？
• RQ4 poset上の非可換代数が、一貫性のある量子力学的観測量と力学を支持できるか？
• RQ5 poset上の非可換代数Aは、スペクトル的性質や幾何的構造といった連続的物理の主要特徴をどのように再現するか？

主な発見

• posetに関連する非可換C*-代数Aは、元の多様体の位相を忠実に符号化し、位相的に正確な有限近似を可能にする。
• posetの構造が非可換代数Aを生じさせ、それにより有限な集合であっても真の非可換（量子的）空間としての性質を有する。
• 代数Aを用いることで、ハミルトニアンを含む量子観測量を定義域が明確な形で定義でき、量子物理学と整合性を保つ。
• この枠組みにより、標準的なラティス場理論で一般的な位相的障害を回避する、有限で位相的に忠実な量子場理論のモデルを構築できる。
• Aの非可換幾何学は、計量や曲率といった連続的物理の主要な幾何的およびスペクトル的特徴を離散的設定で再現する。
• 非可換代数を通じて、位相的および幾何的データを保存しつつ、有限で離散的な空間上での連続的物理の体系的近似が可能になる。