[論文レビュー] Noncommutative Lp modules

Marius Junge, David K. Sherman|ArXiv.org|Jan 6, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、$L^{p/2}$-値内積を用いて非可換 $L^p$ モジュールの新クラスを導入し、ヒルベルト C*-モジュールを一般化するとともに、コンヌの $L^2$ 空間的理論を $L^p$ へ拡張する。主な結果は、$L^p$ バイモジュール（$p \neq 2$）はほぼ自明であるということである：$ \mathcal{M}$-$\mathcal{N}$ $L^p$-バイモジュールが存在するための必要十分条件は、$\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ がモラータ同値であることであり、モジュール構造はアーベル核上の $p$-直接積によるヒルベルト空間の族に還元される。

ABSTRACT

We construct classes of von Neumann algebra modules by considering ``column sums" of noncommutative L^p spaces. Our abstract characterization is based on an L^{p/2}-valued inner product, thereby generalizing Hilbert C*-modules and representations on Hilbert space. While the (single) representation theory is similar to the L^2 case, the concept of L^p bimodule (p not 2) turns out to be nearly trivial.

研究の動機と目的

• 非可換 $L^p$ 空間の $L^2$ 以外のケースにおける表現理論を構築すること。これはヒルベルト空間およびヒルベルト C*-モジュール理論に類似する。
• $L^{p/2}$-値内積を用いて $L^p$ モジュールを特徴づけ、$L^2$ および $L^\infty$ の場合を一般化すること。
• $L^p$ バイモジュールの構造を調査し、$L^p$ 対応関係の豊かなカテゴリーが存在するかを検討すること。
• 特に $\sigma$-有限な場合に、von Neumann 代数上の $L^p$ モジュールに $p$-直接積構造を確立すること。
• モラータ同値性が $L^p$ バイモジュール理論において果たす役割を明確にし、$p \neq 2$ のとき、それが存在の唯一の障害であることを示すこと。

提案手法

• 一般化された $L^{p/2}$-値内積を用いて、非可換 $L^p$ 空間の「列」として $L^p$ モジュールを構成する。
• ハーグラップの構成を応用し、$\widetilde{\mathcal{M}} = \mathcal{M} \rtimes_\sigma \mathbb{R}$ における $\tau$-可測作用素として $L^p(\mathcal{M})$ を構成し、双対作用のスケーリングを $1/p$ に設定する。
• コンヌの $L^2$ 空間的理論を $L^p$ の文脈に翻訳し、モジュラー理論と一般化されたホルダー不等式を用いる。
• 相対的テンソル積 $\otimes_{\mathcal{N},p,q,r}$ を用いて $L^q$-モジュール間の函手を定義し、表現カテゴリーの同値性を確立する。
• 中心的分解を用いて $L^p$ バイモジュールを分析し、アーベル部がヒルベルト空間の $p$-直接積であるのに対し、非アーベル部は代数がモラータ同値でない限り自明であることを示す。
• 一般化された双対性 $L^p \otimes_{\mathcal{M}} L^q \simeq L^r$（$1/p + 1/q = 1/r$）を用い、$qC^p(\mathcal{N}) \otimes_{\mathcal{N},p,q,r} R^p(\mathcal{N})q \simeq L^p(\mathcal{M})$ を用いてテンソル積の同型を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換 $L^p$ 空間に対する表現理論を、$L^2$ および $L^\infty$ の場合を一般化する形で構築できるか？
• RQ2 von Neumann 代数上の $L^p$ モジュールの構造は何か？ そしてヒルベルト C*-モジュールとどのように関係するか？
• RQ3 $p \neq 2$ のとき、非自明な $L^p$ バイモジュールは存在するか？ もし存在するならば、どのような条件下で存在するか？
• RQ4 表現カテゴリーの同値性を実装する $p$-アナロジーの相対的テンソル積が存在するか？
• RQ5 モラータ同値性は $L^p$ バイモジュールの存在において果たす役割は何か？

主な発見

• $1 < p < \infty$, $p \neq 2$, かつ代数が $\sigma$-有限であるとき、$\mathcal{M}$-$\mathcal{N}$ $L^p$-バイモジュールが存在するための必要十分条件は、$\mathcal{M}$ と $\mathcal{N}$ がモラータ同値であることである。
• 非アーベル部における $L^p$ バイモジュール構造は自明である：非アーベル中心射影上での左および右作用は、互いに可換子である。
• バイモジュールのアーベル部は、測度空間 $(X,\mu)$ 上のヒルベルト空間の $p$-直接積に同型であり、$z\mathcal{M} = z\mathcal{N} \simeq L^\infty(X,\mu)$ である。
• 相対的テンソル積 $\otimes_{\mathcal{N},p,q,r}$ は、$\mathcal{N}$ 上の $L^q$-モジュールと $\mathcal{M}$ 上の $L^r$-モジュールの間で函手的同値を与える。逆は共軛モジュールによって与えられる。
• $\mathfrak{X} \otimes_{\mathcal{N},p,q,r} \bar{\mathfrak{X}} \simeq L^p(\mathcal{M})$ の同型が成り立ち、双対性およびカテゴリーの同値性が検証される。
• この構成は $L^2$ および $L^\infty$ の場合を一般化する：$p=2$ のとき、ヒルベルト空間表現が回復される。$p=\infty$ のとき、標準的な $\mathcal{M}$-モジュール構造が回復される。