[論文レビュー] Noncommutative multi-parameter Wiener-Wintner type ergodic theorem

Guixiang Hong, Mu Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換トレース保存動的系に対する非可換で多パラメータ拡張のウィーナー＝ウィンター・エルゴード定理を確立する。重みクラス $ \mathcal{D}$ を導入し、有界ベシコビッチクラスよりも厳密に大きいものとする。非可換最大不等式およびオルリッチ空間のアトミック分解を用いて、このクラスにおける個別的および一様エルゴード収束を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we establish a multi-parameter version of Bellow and Losert's Wiener-Wintner type ergodic theorem for dynamical systems not necessarily being commutative. More precisely, we introduce a weight class $\mathcal{D}$, which is shown to strictly include the multi-parameter bounded Besicovitch weight class, thus including the set $$Λ_d=\left\{\{λ^{k_1}_1\dotsmλ^{k_d}_d\}_{(k_1,\dots,k_d)\in \mathbb{N}^d}:\quad (λ_1,\dots,λ_d) \in \mathbb{T}^d ight\};$$ then prove a multi-parameter Bellow and Losert's Wiener-Wintner type ergodic theorem for the class $\mathcal{D}$ and for noncommutative trace preserving dynamical system $(\mathcal{M},τ,\mathbf{T})$. Restricted to consider the set $Λ_d$, we also prove a noncommutative multi-parameter analogue of Bourgain's uniform Wiener-Wintner ergodic theorem. The noncommutativity and the multi-parameter induce some difficulties in the proof. For instance, our arguments in proving the uniform convergence for a dense subset turn out to be quite different since the "pointwise" argument does not work in the noncommutative setting; to obtain the uniform convergence in the largest spaces, we show maximal inequality between the Orlicz spaces, which can not be deduced easily using classical extrapolation argument. Junge and Xu's noncommutative maximal inequalities with optimal order, together with the atomic decomposition of Orlicz spaces, play an essential role in overcoming the second difficulty.

研究の動機と目的

• 古典的ウィーナー＝ウィンター・エルゴード定理を非可換で多パラメータの動的系へ拡張すること。
• 有界ベシコビッチクラスを厳密に含む新しい重みクラス $\mathcal{D}$ を定義し、その解析を行うこと。
• 非可換 $L_p$-空間において、クラス $\mathcal{D}$ に対して個別的および一様エルゴード収束を証明すること。
• エルゴード収束の証明において生じる非可換性および多パラメータ構造に起因する課題を克服すること。
• 集合 $\Lambda_d$ に対して、ブルーグの均一ウィーナー＝ウィンター定理の非可換類似を確立すること。

提案手法

• スペクトル測度および相関関数を用いて、有界ベシコビッチクラスを一般化する重みクラス $\mathcal{D}$ を導入する。
• ジュンジとシュウが得た最適順序の非可換最大不等式を用い、オルリッチ空間における上界を制御する。
• オルリッチ空間のアトミック分解を適用し、最大の関数空間において収束を扱う。
• 非可換最大関数の推定を用いて、点での議論を避けることで、稠密部分集合上で一様収束を確立する。
• 非可換 $L_p$-空間において、$a \in \mathcal{D}$ に対して重み付きエルゴード平均 $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} a(k) T^k(x)$ の収束を証明する。
• スペクトル測度およびボール＝フーリエ級数の技術を用い、離散的スペクトル測度および絶対収束フーリエ級数を介して、$\mathcal{D}$ に属する列の特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィーナー＝ウィンター・エルゴード定理は、非可換で多パラメータの動的系へ拡張可能か？
• RQ2 非可換 $L_p$-空間において、個別的エルゴード収束が成立する最大の重みクラスは何か？
• RQ3 点での議論が失敗する非可換設定において、一様収束をどのように確立できるか？
• RQ4 非可換最大不等式およびオルリッチ空間の技術は、ウィーナー＝ウィンター定理の拡張にどのような役割を果たすか？
• RQ5 多パラメータ系に対して、ブルーグの均一ウィーナー＝ウィンター定理の非可換類似は存在するか？

主な発見

• 重みクラス $\mathcal{D}$ は、反例 $a(\mathbf{k}) = (-1)^{[\log(k_1+\cdots+k_d+1)]}$ を用いて、有界ベシコビッチクラスよりも厳密に大きいことが示された。
• 任意の $f \in L_p(\mathcal{M}, \tau)$ に対して $1 \leq p \leq \infty$ ならば、すべての $a \in \mathcal{D}$ に対して、重み付きエルゴード平均 $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n a(k) T^k(f)$ は $L_p$-ノルムで収束する。
• 非可換 $L_p$-設定において、$a \in \mathcal{D}$ に対して一様収束が成立し、オルリッチ空間における最大不等式によって達成された。
• クラス $\mathcal{D}$ に属する列のスペクトル測度 $\sigma_\mathbf{a}$ は離散的であり、$\mathbb{T}^d$ 上に台を持つ。$\sigma_\mathbf{a} = \sum_{\alpha=1}^\infty C_\alpha \delta_{\mathbf{z}_\alpha}$ かつ $\sum C_\alpha < \infty$ を満たす。
• 振幅 $\Gamma_\mathbf{a}(\mathbf{z}) = \lim_n \frac{1}{|\mathbf{n}+1|} \sum_{\mathbf{k}=0}^{\mathbf{n}} a(\mathbf{k}) \bar{\mathbf{z}}^{\mathbf{k}}$ は存在し、$|\Gamma_\mathbf{a}(\mathbf{z})|^2 = \sigma_\mathbf{a}(\{\mathbf{z}\})$ を満たす。
• クラス $\mathcal{D}$ はスペクトル測度、相関関数、および振幅に関する条件によって特徴づけられる。$\mathbf{a} \in \mathcal{D}$ であるための必要十分条件は、$\gamma_\mathbf{a}(\mathbf{m}) = \sum_{\alpha=1}^\infty C_\alpha \mathbf{z}_\alpha^{\mathbf{m}}$ かつ $\sum C_\alpha < \infty$ である。