[論文レビュー] Noncommutative Quantum Mechanics with Path Integral

Бранко Драгович, Montenegro Zoran Rakic|ArXiv.org|Jan 28, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、対称的かつ位置-運動量非可換性を有する非可換量子力学（NCQM）の経路積分形式を、非可換位相空間を標準的な可換空間に写像する線形変換を用いて開発する。二次ラグランジアンに対するフェ Feynman 経路積分の明示的表現を導出し、一定の電場および磁場下での非可換平面内に置かれた荷電粒子への形式の応用により、非可換性パラメータと磁場の両方に依存する周波数を有する修正されたランダウ準位スペクトルが得られる。

ABSTRACT

We consider classical and quantum mechanics related to an additional noncommutativity, symmetric in position and momentum coordinates. We show that such mechanical system can be transformed to the corresponding one which allows employment of the usual formalism. In particular, we found explicit connections between quadratic Hamiltonians and Lagrangians, in their commutative and noncommutative regimes. In the quantum case we give general procedure how to compute Feynman's path integral in this noncommutative phase space with quadratic Lagrangians (Hamiltonians). This approach is applied to a charged particle in the noncommutative plane exposed to constant homogeneous electric and magnetic fields.

研究の動機と目的

• 対称的かつ位置-運動量非可換性を有する非可換量子力学に対して、体系的な経路積分的手法を開発すること。
• 線形変換を用いて、可換および非可換な二次ハミルトニアンおよびラグランジアンの明示的関係を確立すること。
• 正確に解ける系に対して、非可換位相空間におけるフェインマン経路積分を計算すること。
• 一定の一様な電場および磁場下における非可換平面内に置かれた荷電粒子の力学的挙動を分析すること。
• エネルギー準位スペクトルを導出し、非可換性パラメータ θ および σ への依存性を示すこと。

提案手法

• 非可換代数 [x̂_a, x̂_b] = iħθ_ab, [p̂_a, p̂_b] = iħσ_ab, [x̂_a, p̂_b] = iħ(δ_ab - ½θ_acσ_cb) が、正準変数 q̂_a および k̂_a の線形変換により標準的ヘイゼンベルク代数に写像される。
• 非可換位相空間における二次ラグランジアンおよびハミルトニアンは、時間に依存する行列およびベクトルを用いて表現され、解析的取り扱いが可能になる。
• 標準的な二次作用のための公式を用いて経路積分が評価され、古典的作用および作用の2次変動の行列式が変換された可換空間で計算される。
• 形式は、一定の電場および磁場下の非可換平面内に置かれた荷電粒子に適用され、修正された調和振動子ハミルトニアンが得られる。
• 物理的運動量 π̂_a を用いて消滅および生成演算子が導入され、エネルギー準位の正確な解が可能になる。
• エネルギー準位は E_n = ħω(n + ½) として導出され、ω = (eℬ - σ)(1 - eℬθ/4)/m であり、非可換性および磁場に依存することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェインマン経路積分は、対称的かつ位置-運動量非可換性を有する非可換量子力学にどのように一般化可能か？
• RQ2 可換および非可換な二次ラグランジアンおよびハミルトニアンの間の明示的関係は何か？
• RQ3 一定の電場および磁場下における非可換平面内に置かれた荷電粒子のエネルギー準位スペクトルは、標準的なランダウ準位とどのように異なるか？
• RQ4 非可換性パラメータ θ および σ は、有効周波数およびエネルギー準位をどのように修正するか？
• RQ5 非可換系は、標準的量子力学系に写像可能であり、解析的経路積分計算を可能にするか？

主な発見

• 非可換系は線形変換により標準的可換系に写像され、標準的経路積分技法の使用が可能になる。
• 非可換位相空間における二次ラグランジアンの経路積分は解析的に解け、古典的作用および作用の2次変動の行列式で表現される。
• 一定の磁場および電場下の非可換平面内に置かれた荷電粒子に対して、エネルギー準位は E_n = ħω(n + ½) で与えられ、ω = (eℬ - σ)(1 - eℬθ/4)/m である。
• 有効周波数 ω は ℬ = σ/e または ℬ = 4/(eθ) のときゼロになり、準位の重なりが生じる臨界磁場値を示す。
• 強い磁場領域では、系はエネルギー準位間隔が -ħe²ℬ²θ/(4m) に発散する非可換ランダウ問題に還元され、標準的なランダウ準位間隔とは異なる。
• 非可換配置空間では [x̂_1, x̂_2] = iħ(2/(eℬ))(1 + θσ/4) を満たし、強い磁場領域で非可換性が強化される。