[論文レビュー] Noncommutative renormalization for massless QED

Christian Brouder, Alessandra Frabetti|ArXiv.org|Nov 17, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 26被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、質量のない量子電磁力学（QED）の摂動論的正規化を非可換ホップ代数の枠組みで展開し、行列値振幅の非可換積を考慮に入れた、クライマーのフェ Feynman 図のホップ代数を拡張する。非可換コンネス＝クロイマー写像を構成し、正規化のホップ代数と非可換形式微分同相群の代数の間の同型写像を定義する。電子および光子の伝播関数、自己エネルギー、真空中極化について、摂動論のすべての位で有効で、ジンマーマンのフォレスト公式と同等の明示的かつ非可換なダイソン型の公式を導出する。

ABSTRACT

We study the renormalization of massless QED from the point of view of the Hopf algebra discovered by D. Kreimer. For QED, we describe a Hopf algebra of renormalization which is neither commutative nor cocommutative. We obtain explicit renormalization formulas for the electron and photon propagators, for the vacuum polarization and the electron self-energy, which are equivalent to Zimmermann's forest formula for the sum of all Feynman diagrams at a given order of interaction. Then we extend to QED the Connes-Kreimer map defined by the coupling constant of the theory (i.e. the homomorphism between some formal diffeomorphisms and the Hopf algebra of renormalization) by defining a noncommutative Hopf algebra of diffeomorphisms, and then showing that the renormalization of the electric charge defines a homomorphism between this Hopf algebra and the Hopf algebra of renormalization of QED. Finally we show that Dyson's formulas for the renormalization of the electron and photon propagators can be given in a noncommutative (e.g. matrix-valued) form.

研究の動機と目的

• 行列値振幅の性質を尊重する非可換ホップ代数フレームワークを、質量のない QED の正規化に開発すること。
• コンネス＝クロイマー写像を非可換設定に拡張し、QED 正規化のホップ代数と非可換形式微分同相群の代数との間の同型写像を定義すること。
• フォレスト公式と同等の、伝搬関数、自己エネルギー、真空中極化についての明示的かつすべての位で有効な正規化公式を導出すること。
• ダイソンの正規化公式を行列値（非可換）形式に一般化し、複数のレプトン世代を統一的に取り扱えるようにすること。

提案手法

• プランル・バイナリツリーの上に非可換かつ非ココミュタティブなホップ代数を構成し、QED の正規化をモデル化する。
• 形式微分同相群のコンネス＝モスコビッチ代数の非可換拡張を導入し、それがホップ代数をなすことを証明する。
• 電磁力定数の正規化を通じて、非可換微分同相群ホップ代数と QED 正規化ホップ代数との間の同型写像を定義する。
• 母関数と再帰関係を用いてコプロダクトを計算し、e² の摂動展開の係数を抽出する。
• ホップ代数における畳み込みとして、裸の振幅と正規化された振幅を表現することで、非可換ダイソン公式を導出する。ここで行列値正規化因子 Z₂ と Z₃ を用いる。
• ホップ代数構造を用いて、伝搬関数および自己エネルギーの e²ⁿ 展開の係数を計算し、Ward の恒等式 Z₁ = Z₂ を活用して計算の複雑さを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QED の正規化のホップ代数を、振幅の非可換積を尊重する非可換設定に一般化することは可能か？
• RQ2 非可換ホップ代数の形式微分同相群と QED 正規化のホップ代数との間に、コンネス＝クロイマー写像が存在するか？
• RQ3 ダイソンの正規化公式を QED において非可換な行列値形式に一般化することは可能か？
• RQ4 摂動的 QED の e²ⁿ 展開の係数は、ホップ代数のコプロダクト構造とどのように関係するか？
• RQ5 Ward の恒等式 Z₁ = Z₂ は、正規化された振幅のホップ代数的計算を簡略化するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、プランル・バイナリツリーの上に構築された非可換かつ非ココミュタティブなホップ代数を構成し、質量のない QED の正規化をモデル化する。この代数は、行列振幅の非可換積を保存する。
• 形式微分同相群の非可換ホップ代数を定義し、系列の合成が非可換であっても、合成とコプロダクトに関して閉じていることを証明する。
• 電磁力定数 e₀ = e / √Z₃ の正規化が、非可換微分同相群代数から QED 正規化ホップ代数へのホップ代数同型写像を定義する。
• 非可換ダイソン公式を導出する：光子に関しては (1 + Π(q))⁻¹ ¯D(q; e) = : D(q; e / √1 + Π(q)) : であり、電子に対しても同様に行列値 Z 要素を含む形で成り立つ。
• e²ⁿ 展開の係数 Dₙ(q) と ¯Dₙ(q) は、それぞれ ⟨ϕγ, uₙ⟩ および ⟨ζ₃ ⊗ ϕγ, Δγ uₙ⟩ で与えられ、すべてのフェ Feynman 図の和を取る代替手段として効率的である。
• Ward の恒等式 Z₁ = Z₂ を用いることで、積分の数を指数的から多項式的へと削減でき、計算の効率が著しく向上する。