[論文レビュー] Noncommutative Smooth Models

Lieven Le Bruyn|ArXiv.org|Sep 6, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、超越次数2の関数体 K 上の中心的単純代数 Σ が非可換な滑らかモデルをもつための必要十分条件を確立している。その条件は、K の滑らかモデル S が存在し、Σ 内の最大な 𝒪_S-順序の分岐除集合が滑らかな既約曲線の互いに交わらない直和であることにかかわる。主な結果は、このような滑らかモデルのブラウアー・シーベルスキー線形写像が平坦な準同型であり、局所的マーク付きクーヴィーが型 A_{k01} である分岐点におけるファイバーが、ちょうど k+1 個の次元 n−1 の既約成分を持つことである。

ABSTRACT

We determine the central simple algebras D over a functionfield K of trancendence degree two which admit a model of smooth Cayley-Hamilton algebras. This happens if and only if there is a smooth model S of K such that the ramification divisor of a maximal S-order in D is a disjoint union of smooth curves. Further, we prove that the Brauer-Severi fibration of smooth models which are in addition maximal orders is a flat morphism and determine the number of irreducible components of the fibers.

研究の動機と目的

• 超越次数2の関数体上での中心的単純代数が非可換滑らかモデルをもつ条件を特定すること。
• 滑らかな曲面上の分岐除集合の幾何的性質を用いて、そのようなモデルの存在を特徴づけること。
• 滑らかな最大な 𝒪_S-順序のブラウアー・シーベルスキー線形写像が平坦な準同型であることを証明すること。
• クーヴィー理論的技法を用いて、分岐点におけるブラウアー・シーベルスキー線形写像のファイバー構造を解析すること。

提案手法

• 表現スキーム trep_n A 及びその GL_n-商の滑らか性により、滑らかなカーレイ・ハミルトン順序を定義する。
• 拡張クーヴィーとヘッセルンクの区分けに基づくエタール局所モデルを用いて、表現空間内の特異点を解析する。
• trep_n A の GL_n-可換な特異点解消を構成し、滑らかモデルを回復する。
• 拡張クーヴィー表現空間の零コーンにヘッセルンクの区分けを適用し、ストラトゥムを分類し、ファイバー成分を計算する。
• 文字 θ = (−n, d₁, ..., d_{k+1}) を用いて、レベルクーヴィー内の θ-半安定表現を特定する。
• ザリスキの同型定理を用いて、ブラウアー・シーベルスキー線形写像のファイバーを GL(α̃) による零コーンの商と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超越次数2の関数体上での中心的単純代数が非可換滑らかモデルをもつのはいつか？
• RQ2 最大順序の分岐除集合にどのような幾何的条件が満たされると、そのようなモデルが存在するか？
• RQ3 滑らかな最大順序のブラウアー・シーベルスキー線形写像は平坦な準同型か？
• RQ4 マーク付きクーヴィーが型 A_{k01} である分岐点におけるブラウアー・シーベルスキー線形写像のファイバーには、いくつの既約成分があるか？

主な発見

• 超越次数2の関数体 K 上の中心的単純代数 Σ が非可換滑らかモデルをもつための必要十分条件は、K の滑らかモデル S が存在し、Σ 内の最大な 𝒪_S-順序の分岐除集合が滑らかな既約曲線の互いに交わらない直和であることである。
• 滑らかな最大な 𝒪_S-順序のブラウアー・シーベルスキー線形写像は平坦な準同型である。
• 局所的マーク付きクーヴィーが型 A_{k01} である分岐点において、ブラウアー・シーベルスキー線形写像のファイバーには、ちょうど k+1 個の既約成分がある。
• このような点におけるファイバーの各既約成分の次元は、代数の次数 n に対して n−1 である。
• ファイバー構造は、拡張クーヴィー表現空間の零コーンに対するヘッセルンクの区分けにより計算され、各成分は θ-半安定ストラトゥムから生じる。
• レベルクーヴィー内の θ_i-半安定表現のモジュライ空間は ℙ^{d_i−1} に同型であり、次元と成分数の確認がなされた。