[論文レビュー] Noncommutative Spaces and Gravity

Frank Meyer|ArXiv.org|Oct 21, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、非可換時空間における重力理論を、$\theta$-変形に基づく微分同相変換の変形代数を用いて構築する。時空座標は $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ を満たす。Moyal-Weyl $\star$-積を用いて非可換アインシュタイン＝ヒルベルト作用を構成し、一般相対性理論に対する補正が $\theta$ の2次までに現れることを示した。$\mathcal{O}(\theta^2)$ までに、変形されたクリストッフェル記号、リーマンテンソル、および作用の明示的表現が得られた。

ABSTRACT

This is an introduction to an algebraic construction of a gravity theory on noncommutative spaces which is based on a deformed algebra of (infinitesimal) diffeomorphisms. We start with some fundamental ideas and concepts of noncommutative spaces. Then the $θ$-deformation of diffeomorphisms is studied and a tensor calculus is defined. A deformed Einstein-Hilbert action invariant with respect to deformed diffeomorphisms is given. Finally, all noncommutative fields are expressed in terms of their commutative counterparts up to second order of the deformation parameter using the $\star$-product. This allows to study explicitly deviations to Einstein's gravity theory in orders of $θ$.

研究の動機と目的

• 非可換座標により点の概念が定義されない非可換時空間における一貫性のある重力理論を構築すること。
• 非可換幾何学と整合するように、無限小微分同相変換の変形代数への一般化を試みること。
• これらの変形された対称性に対して不変なテンソル計算および変形されたアインシュタイン＝ヒルベルト作用を構築すること。
• 変形パラメータ $\theta$ の2次までで、非可換場および幾何学的量を可換な対応物で表現すること。
• 非可換性に起因する、一般相対性理論への明示的補正を $\mathcal{O}(\theta^2)$ で同定すること。

提案手法

• 論文は、$[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ を満たす $\theta^{\mu\nu}$ を定数として持つ $\theta$-変形を用いて、非可換時空間をモデル化する。
• 座標の対称的順序付けを保証するため、可換関数 $f(x)$ から非可換演算子 $\hat{f} = W(f)$ を得るためのWeyl順序写像 $W$ を用いる。
• 微分作用素 $\hat{\partial}_\mu$ を、$[\hat{\partial}_\mu, \hat{x}^\nu] = \delta_\mu^\nu$ および $[\hat{\partial}_\mu, \hat{\partial}_\nu] = 0$ を満たすように定義し、標準的なライブニッツ則を保つ。
• 非可換場の積を定義するためにMoyal-Weyl $\star$-積を用い、$f \star g = \exp\left(\frac{i}{2}\theta^{\mu\nu}\partial_\mu \otimes \partial_\nu\right)(f \otimes g)$ と定義する。これにより非可換場の積が可能になる。
• 変形されたクリストッフェル記号 $\Gamma^{(1)}$ および $\Gamma^{(2)}$ は、メトリック $g_{\mu\nu}$ から、$\star$-積を用いた標準的な式を用いて、$\theta$ の1次および2次補正として導出される。
• 非可換アインシュタイン＝ヒルベルト作用は $S_{\mathrm{EH}} = \frac{1}{2}\int \mathrm{d}^4x\, \mathrm{det}_\star e_\mu^a \star (R + \bar{R})$ として構成され、$\mathrm{det}_\star$ は $\star$-行列式であり、$\mathcal{O}(\theta^2)$ まで展開される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空間 $[\hat{x}^\mu, \hat{x}^\nu] = i\theta^{\mu\nu}$ において、微分同相変換対称性を一貫して変形することは可能か？
• RQ2 ライブニッツ則を保ち、$\theta$-変形と整合する非可換テンソル計算の構造は何か？
• RQ3 非可換設定において、$\star$-積および $\star$-行列式を用いてアインシュタイン＝ヒルベルト作用を一般化することは可能か？
• RQ4 変形パラメータ $\theta$ の2次において、リーマン曲率およびアインシュタイン方程式の明示的補正は何か？
• RQ5 非可換場および幾何学的量は、$\theta$ の摂動展開において、可換な対応物とどのように関係するか？

主な発見

• 変形されたクリストッフェル記号 $\Gamma_{\mu\nu}^{(1)\sigma}$ および $\Gamma_{\mu\nu}^{(2)\sigma}$ は、可換接続の補正として導出され、$\Gamma_{\mu\nu}^{(1)\sigma}$ は $\theta$ に対して線形、$\Gamma_{\mu\nu}^{(2)\sigma}$ は2次である。
• リーマン曲率テンソルは $\mathcal{O}(\theta^2)$ で補正を受け、$R_{\mu\nu\rho}^{(2)\sigma}$ は $\Gamma^{(1)}$ および $\Gamma^{(2)}$ の微分の組み合わせとして明示的に計算され、$\frac{i}{2}\theta^{\alpha\beta}(\partial_\alpha \Gamma_{\nu\rho}^{(1)\gamma})(\partial_\beta \Gamma_{\mu\gamma}^{(0)\sigma})$ のような項を含む。
• 非可換アインシュタイン＝ヒルベルト作用は $S_{\mathrm{EH}} = S_{\mathrm{EH}}^{(0)} + \int \mathrm{d}^4x\, (\det e_{\mu}^a) R^{(2)} + (\mathrm{det}_\star e_{\mu}^a)^{(2)} R^{(0)}$ として与えられ、$\mathcal{O}(\theta^2)$ で補正が現れることが示された。
• $\mathrm{det}_\star e_\mu^a$ は $\det e_\mu^a + (\mathrm{det}_\star e_\mu^a)^{(2)} + \dots$ として展開され、2次項はヴィエルバイン場の2階微分を含む。
• 作用は変形された微分同相変換に対して不変であり、$\star$-積により $\star$-積の積分が通常の積分に等しくなるため、作用の形が保たれる。
• $\theta$ の奇数次項は作用において消えるため、一般相対性理論からのずれに寄与するのは偶数次補正のみであり、初めての非自明な補正は $\mathcal{O}(\theta^2)$ で現れる。