[論文レビュー] Noncommutative vector valued $L_p$-spaces and completely $p$-summing maps

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 1993

Advanced Operator Algebra Research被引用数 281

ひとこと要約

本稿は、作用素空間における非可換ベクトル値 $L_p$-空間の新理論を提示し、双対性および補間性質を確立する。完全 $p$-和集合写像は、$p$-絶対和集合写像の作用素空間版として定義され、エフロス＝ルアンの $p=1$ の場合を一般化し、ピーツ方式の因子分解定理を証明する。主な結果として、これらの写像が作用素空間 $OH$ およびシャンンクラスとどのように関連するかが示される。

ABSTRACT

Let $E$ be an operator space in the sense of the theory recently developed by Blecher-Paulsen and Effros-Ruan. We introduce a notion of $E$-valued non commutative $L_p$-space for $1 \leq p < \infty$ and we prove that the resulting operator space satisfies the natural properties to be expected with respect to e.g. duality and interpolation. This notion leads to the definition of a ``completely p-summing" map which is the operator space analogue of the $p$-absolutely summing maps in the sense of Pietsch-Kwapień. These notions extend the particular case $p=1$ which was previously studied by Effros-Ruan.

研究の動機と目的

• 作用素空間に値をとる非可換 $L_p$-空間の理論を構築し、古典的 $L_p$-理論を非可換設定に拡張すること。
• 作用素空間の圏における完全 $p$-和集合写像の概念を定義し、研究すること。これは古典的 $p$-絶対和集合写像の一般化である。
• 新たに定義された $E$-値非可換 $L_p$-空間の双対性および補間性質を確立すること。
• 完全 $p$-和集合写像に対して、非可換版のピーツ因子分解定理を証明すること。
• 完全 $p$-和集合ノルムが $OH$-因子分解ノルムおよびシャンンクラスノルムとどのように関係するかを明らかにすること。特に $p=2$ の場合に注目する。

提案手法

• 複素補間を用いて $1 < p < ∞$ に対して $S_p[E] = (S_{p_0}[E], S_{p_1}[E])_\theta$ を定義し、$\theta = 1/p$ とする。これは先行研究からの作用素空間構造を用いる。
• 最小テンソル積 $S_{\infty}[E] = S_\infty \otimes_m E$ および $S_1[E] = S_1 \otimes_\wedge E$ の複素補間として $S_p[E]$ を構成する。
• 写像 $u: E \to F$ が完全 $p$-和集合であるとは、$I_{S_p} \otimes u$ が $S_p \otimes_m E \to S_p[F]$ に有界に拡張可能であることと定義し、$\pi_p^0(u) = \|\tilde{u}\|$ とする。
• $OH(I)$ の作用素空間構造と $S_2[E] \cong OH(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times I)$ の同一視を用いて、$p=2$ の写像を $OH$-因子分解に関連付ける。
• 非可換ファビニ型定理を証明する：$S_p[K; S_p[L; E]] \cong S_p[K \otimes_2 L; E]$ は完全等長同型である。
• 超積による表現を確立する：任意の完全 $p$-和集合写像 $u$ に対して、$S_{2p}(\tilde{H})$ の単位球内のネット $(a_\alpha), (b_\alpha)$ が存在し、$\|u(x_{ij})\| \leq \pi_p^0(u) \lim_{\mathcal{U}} \|a_\alpha \pi(x_{ij}) b_\alpha\|_{M_n(S_p(\tilde{H}))}$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素空間 $E$ に値をとる非可換 $L_p$-空間を、双対性および補間性質を保つように定義する方法は何か？
• RQ2 作用素空間の圏における $p$-絶対和集合写像の正しい非可換アナロジーは何か？
• RQ3 完全 $p$-和集合写像に対して、ピーツ型の因子分解定理を確立できるか？
• RQ4 完全 $p$-和集合写像は、作用素空間 $OH$ およびシャンンクラスとどのように関係するか？
• RQ5 $n$ 次元作用素空間上の恒等写像の完全 $p$-和集合ノルムの正確な値は何か？

主な発見

• 任意の $n$ 次元作用素空間 $E$ に対して、恒等写像の完全 $2$-和集合ノルムは $\pi_2^0(I_E) = n^{1/2}$ を満たす。
• $\|u\|_{cb} \|u^{-1}\|_{cb} \leq n^{1/2}$ を満たす完全有界同型写像 $u: E \to OH_n$ が存在する。
• $\|P\|_{cb} \leq n^{1/2}$ を満たす完全有界射影 $P: B(H) \to E$ が存在する。
• 任意の写像 $u: E \to OH(J)$ に対して、完全 $2$-和集合ノルムは $\pi_{2,oh}$-ノルムと一致する：$\pi_2^0(u) = \pi_{2,oh}(u)$。
• 任意の写像 $u: OH(I) \to OH(J)$ に対して、ヒルベルト＝シュミットノルムは $\pi_2^0(u)$ および $\pi_{2,oh}(u)$ と一致する。
• $u: E \to F$ が $\Gamma_{oh}(E,F)$ に属するための必要十分条件は、すべての $n$ およびすべての $v: F \to OH_n$ に対して $\pi_2^0((vu)^*) \leq C \pi_2^0(v)$ を満たす $C > 0$ が存在することであり、$\gamma_{oh}(u)$ はそのような最小の $C$ に等しい。