[論文レビュー] Noncommutative Yang-Mills-Higgs actions from derivation-based differential calculus

Eric Cagnache, Thierry Masson+1 more|Apr 18, 2008

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、導分に基づく微分積分法を用いて、ムーヤル代数上での非可換ヤン・ミルズ・ヒッグス作用素を構築し、ゲージ理論がUV/IR混合を継承することを示している。真空極化テンソルは、$\tilde{p}_\mu \tilde{p}_\nu / (\tilde{p}^2)^{D/2}$に比例するIR特異性を示し、幾何的枠組みのもとでも非可重整化的振る舞いが持続することを確認している。

ABSTRACT

Derivations of a noncommutative algebra can be used to construct differential calculi, the so-called derivation-based differential calculi. We apply this framework to a version of the Moyal algebra ${\cal{M}}$. We show that the differential calculus, generated by the maximal subalgebra of the derivation algebra of ${\cal{M}}$ that can be related to infinitesimal symplectomorphisms, gives rise to a natural construction of Yang-Mills-Higgs models on ${\cal{M}}$ and a natural interpretation of the covariant coordinates as Higgs fields. We also compare in detail the main mathematical properties characterizing the present situation to those specific of two other noncommutative geometries, namely the finite dimensional matrix algebra $M_n({\mathbb{C}})$ and the algebra of matrix valued functions $C^\infty(M)\otimes M_n({\mathbb{C}})$. The UV/IR mixing problem of the resulting Yang-Mills-Higgs models is also discussed.

研究の動機と目的

• ムーヤル代数上での非可換ヤン・ミルズ・ヒッグス理論の幾何的枠組みを、導分に基づく微分積分法を用いて構築すること。
• この幾何的枠組み内において、ゲージ座標をヒッグス場として解釈すること。
• 得られるゲージ理論におけるUV/IR混合問題を分析し、行列代数および行列値関数代数と比較すること。
• 1ループの真空極化テンソルを計算し、そのIR極限を評価することで、モデルの可重整化性を評価すること。

提案手法

• 著者たちは、ムーヤル代数の導分を用いて、無限小シンプレクティック変換に基づく微分積分法を構築する。
• シンプレクティック変換に関連する導分の最大部分代数を用いて、ムーヤル代数上に微分積分法を定義する。
• ゲージ接続および場強度は、ゲージ座標から構成され、幾何的枠組みを通じてヒッグス場として解釈される。
• 1ループの真空極化テンソル $\omega_{\mu\nu}(p)$ は、ファインマン的ゲージにおけるファインマン規則を用いて計算され、ゲージボソン、ゴースト、ヒッグス場の寄与が含まれる。
• $\omega_{\mu\nu}(p)$ のIR極限は、修正ベッセル関数を含む積分表現と漸近展開を用いて抽出される。
• 恒等式 $1/(ab) = \int_0^1 dx / (xa + (1-x)b)^2$ と、$\sin^2(p \wedge k / 2)$ 要素を含む運動量空間積分を用いて、IR特異性を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導分に基づく微分積分法を用いて、ムーヤル代数上に一貫性のある非可換ヤン・ミルズ・ヒッグスモデルを構築する方法は何か？
• RQ2 この枠組み内でのゲージ座標の幾何的解釈は何か？また、ヒッグス場とどのように関係するか？
• RQ3 得られるゲージ理論はUV/IR混合を示すか？もしそうなら、標準的非可換ヤン・ミルズモデルと比較して、IR特異性の構造はどのように異なるか？
• RQ4 真空極化テンソルはIR極限でどのように振る舞い、これはモデルの可重整化性にどのような含意を持つのか？
• RQ5 この構成の数学的性質は、$M_n(\mathbb{C})$ および $C^\infty(M) \otimes M_n(\mathbb{C})$ と比較してどのように異なるか？

主な発見

• IR極限における真空極化テンソルは、$\omega^{IR}_{\mu\nu}(p) \sim (D + \mathcal{N} - 2) \Gamma(D/2) \tilde{p}_\mu \tilde{p}_\nu / (\pi^{D/2} (\tilde{p}^2)^{D/2})$ と振る舞い、IR特異性の存在を確認する。
• 標準的非可換ヤン・ミルズモデルと比較して、IR特異性の全体係数が変更されているが、$D$ や $\mathcal{N}$ の調整ではキャンセルできないため、UV/IR混合が持続的であることが示唆される。
• IR極限におけるヒッグス2点関数は、$\Pi^{IR}_{ab}(p) \sim [D + 5 - 4\mathcal{N}] \delta_{ab} \Gamma(D/2 - 1) / \tilde{p}^{2(D/2 - 1)}$ とスケーリングされ、特徴的なIR発散構造を示す。
• ゲージ座標は、ムーヤル代数上の導分に基づく微分積分法から自然に生じるヒッグス場として幾何的に解釈される。
• シンプレクティック変換に関連する導分に基づく微分積分法は、ヤン・ミルズ・ヒッグス作用素の一貫性のある幾何的定式化を導く。
• 導分代数の部分代数への切断に対しても、UV/IR混合構造は頑健であり、$isp(D,\mathbb{R})$ の部分代数に制限してもIR特異性は持続する。