[論文レビュー] Noncommuting vector fields, polynomial approximations and control of inhomogeneous quantum ensembles

Navin Khaneja, Jr-Shin Li|ArXiv.org|Oct 3, 2005

advanced mathematical theories被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ラーミア周波数、rf場の振幅、スピン結合の分散に起因する不均一な量子系（例：NMR）を制御するための理論的基盤を確立する。非可換なベクトル場とリー代数的構造を活用することで、リー括弧によって分散パラメータの高次多項式項が生成され、その結果、パラメータのばらつきを適切なパルスシーケンスによって補償可能であることが示された。

ABSTRACT

Finding control fields (pulse sequences) that can compensate for the dispersion in the parameters governing the evolution of a quantum system is an important problem in coherent spectroscopy and quantum information processing. The use of composite pulses for compensating dispersion in system dynamics is widely known and applied. In this paper, we make explicit the key aspects of the dynamics that makes such a compensation possible. We highlight the role of Lie algebras and non-commutativity in the design of a compensating pulse sequence. Finally we investigate three common dispersions in NMR spectroscopy, the Larmor dispersion, rf-inhomogeneity and strength of couplings between the spins.

研究の動機と目的

• 不均一な量子系が内部パラメータのばらつきを持つにもかかわらず、同時に制御可能となる動的条件を同定すること。
• 非可換性とリー括弧が量子制御におけるばらつき補償を可能にする役割を明確にすること。
• パラメータの変動を伴う線形および非線形量子系におけるアンサンブル可制御性の十分条件を確立すること。
• 可解性に欠ける高次分散項を生成しないノルム的系や制御構造の限界を分析すること。
• NMRおよび量子情報処理における補償パルスシーケンスの設計のための理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 時間変動するrf場にさらされるスピン-1/2系をモデル化するためのブロッホ方程式形式を用い、振幅およびラーミア周波数の分散を含む。
• リー代数的手法を適用してドリフトおよび制御ベクトル場を分析し、リー括弧が分散パラメータの高次多項式項を生成する役割に注目する。
• 非可換な制御場（例：u(t) と v(t)）がリー括弧を生成し、ε²、ε³ に比例する項を生じさせることを示し、一次分散の補償を可能にする。
• 単一の制御信号下での到達可能集合が、パrameterが変化する連続的な系の族をカバーできることを示すことにより、有界制御下でのアンサンブル可制御性を証明する。
• パrameter依存の行列 A_s を持つ線形系 (A_s, b_s) の可制御性を分析するための類似変換フレームワークを導入し、固有値が相異なることと A_s がフルランクであることの必要性を示す。
• ヘイゼンベルク代数を反例として用い、ノルム的リー代数が十分な分散依存項を生成できないため、アンサンブル可制御性を達成できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、1つの制御入力が内部パラメータが異なる量子系のアンサンブルを、所望の最終状態へ同時に誘導できるか？
• RQ2 制御ベクトル場の非可換性が、分散パラメータの高次多項式項を生成する仕組みは何か？ その生成がばらつき補償を可能にする仕組みは？
• RQ3 非ホロノミック・インテグレータのようなノルム的制御系は、個別には可制御であるが、なぜアンサンブル可制御性を達成できないのか？
• RQ4 システム行列 A_s と制御ベクトル b_s がアンサンブル可制御性を達成するために必要な構造的性質は何か？
• RQ5 制御ベクトル場が生成するリー代数が、パラメータ分散を持つアンサンブルに対して任意の制御を達成するのに必要な空間を張れるか？

主な発見

• 非可換な制御場がリー括弧を生成し、分散パラメータ ε の高次項を生じる場合、ラーミア分散と rf 不均一性を伴うブロッホ方程式においてアンサンブル可制御性が達成可能である。
• 行列 A_s が異なる s に対して相異なる固有値を持ち、かつフルランクである場合に限り、システムはアンサンブル可制御である。これは、類似変換 T_s がパラメータに明示的に依存することを保証する。
• ノルム的リー代数（例：ヘイゼンベルク代数）は、分散に依存する十分な多項式項を生成できないため、そのような系はアンサンブル可制御ではない。
• 非ホロノミック・インテグレータの例で、リー括弧 [εg₁, εg₂] = 2ε²∂/∂x₃ が示すように、有界制御下でも ε² を超える高次分散項を生成できないため、制御能力が制限される。
• 半単純リー群 G 上の形式 Ẋ = (∑u_i ε_i B_i)X を持つ系では、{B_i} が生成するリー代数が G の接空間を張る場合、アンサンブル可制御性が成立する。
• 本稿では、リー括弧展開による多項式近似を用いて、ラーミア周波数、rf振幅、スピン-スピン結合定数の分散を伴うNMR系における補償パルスシーケンスの存在を証明する。