[論文レビュー] Noncompact harmonic manifolds

Gerhard Knieper, Norbert Peyerimhoff|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非コンパクトな調和多様体を調査し、純粋に指数的体積成長を示すものについては、グロモフ双曲性、アノーソフ測地線フロー、および調和関数の無限遠における平均値性質を証明する。このような空間における水平超曲面は多項式的体積成長を示し、有界調和関数のマーティン境界による表現が得られ、リヒネロイッチ予想の非コンパクトな場合の主要な側面が解決される。

ABSTRACT

The Lichnerowicz conjecture asserts that all harmonic manifolds are either flat or locally symmetric spaces of rank 1. This conjecture has been proved by Z.I. Szabo for harmonic manifolds with compact universal cover. E. Damek and F. Ricci provided examples showing that in the noncompact case the conjecture is wrong. However, such manifolds do not admit a compact quotient. The classification of all noncompact harmonic spaces is still a very difficult open problem. In this paper we provide a survey on recent results on noncompact simply connected harmonic manifolds, and we also prove many new results, both for general noncompact harmonic manifolds and for noncompact harmonic manifolds with purely exponential volume growth.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな調和多様体の幾何学的構造、特にコンパクト商をもたないものの未解決の問題を解消すること。
• 非平坦で単連結な非コンパクトな調和多様体が、純粋に指数的体積成長を示す必要があるかどうかを調査すること。
• このような多様体が非正曲率をもつ必要があるか、非均質な例が存在するかを特定すること。
• 純粋に指数的体積成長を示す空間における調和関数の無限遠における平均値性質を確立すること。
• マーティン境界と可視性測度を用いて、有界調和関数を特徴付けること。

提案手法

• ニコライエフスキーの結果を用いて、調和多様体の密度関数が指数多項式であることを証明する。
• 同じ点から出る測地線の放射性に関する一様な発散結果を適用し、漸近的幾何を研究する。
• 球面と水平超曲面における曲率推定を用いて、内在的体積成長を評価する。
• 密度関数に対する微分不等式を導出し、調和的でない関数の積分公式を構成する。
• 測地線フローとブセルマン関数を用いて、幾何的境界とマーティン境界を関連付ける。
• ブセルマン関数の勾配のフローを用いて、水平超曲面上の集合を変換し、体積の減衰を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平坦で単連結な非コンパクトな調和多様体は、すべて純粋に指数的体積成長を示すか？
• RQ2 非平坦で単連結な非コンパクトな調和多様体は、すべて非正曲率を示すか？
• RQ3 非均質な単連結な調和多様体は存在するか？
• RQ4 純粋に指数的体積成長を示す非コンパクトな調和多様体のマーティン境界は、幾何的境界と同型か？
• RQ5 このような多様体上の調和関数は、無限遠における平均値性質を満たすか？

主な発見

• 純粋に指数的体積成長を示す非コンパクトな調和多様体における水平超曲面は、多項式的体積成長を示す。
• 非平坦な調和多様体において、マーティン境界とブセルマン境界は一致し、可視性測度のラドン＝ニコディム微分が明示的に計算される。
• 純粋に指数的体積成長を示す非コンパクトな調和多様体上の調和関数は、無限遠における平均値性質を満たす：水平超曲面上の拡大する集合における平均値は、理想境界点における値に収束する。
• グリーン核は密度関数を用いて明示的に表現され、調和関数の積分表現が可能になる。
• このような多様体上の有界調和関数は、マーティン境界を用いた表現をもち、ポアソン核は密度関数から導出される。
• 測地線フローがアノーソフ的であり、かつ多様体がグロモフ双曲的であるための必要十分条件は、純粋に指数的体積成長かつ水平超曲面の正の平均曲率を示すことである。