[論文レビュー] Noncomplex smooth 4-manifolds with Lefschetz fibrations

Mustafa Korkmaz|ArXiv.org|Mar 22, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、 genus-$g$ 曲面の写像類群における一般化された関係を用いて、$S^2$ 上に genus-$g$ Lefschetz フibration を持つが、いかなる複素構造も持たない、無限に多くの互いに同相でない滑らかな 4 次元多様体を構成する。この構成は、Matsumoto の genus-2 関係を braid 群に上げ、その後曲面写像類群へ射影することに依存し、基本群が $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_n$ で $b_2^+ = 1$ である 4 次元多様体が得られる。これは既知のシンプレクティック障害により複素構造の存在が排除される。

ABSTRACT

For every integer g greater than or equal to 2, there exist infinitely many pairwise nonhomeomorphic smooth 4-manifolds that admit genus-g Lefschetz fibrations over S^2 but do not carry any complex structure with either orientation. This extends a recent result of Ozbagci and Stipsicz.

研究の動機と目的

• Matsumoto の genus-2 Lefschetz フibration 関係を braid 群への持ち上げを用いて、任意の高々 genus-$g$ の曲面へ一般化する。
• 写像類群内のモノドロミー関係を用いて、複素構造を持たない genus-$g$ Lefschetz フibration を持つ 4 次元多様体を構成する。
• このような 4 次元多様体が、任意の $n$ に対して基本群 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_n$ を持ち、既知のシンプレクティック障害定理により非複素構造を示す。
• 得られる 4 次元多様体の微分同相型を特定し、$g$ が偶数の場合は $\Sigma_{g/2} \times S^2 \# 4\overline{\mathbb{CP}^2}$、$g$ が奇数の場合は $\Sigma_{(g-1)/2} \times S^2 \# 8\overline{\mathbb{CP}^2}$ であることを示す。

提案手法

• Matsumoto の genus-2 関係（8 個の右回り Dehn ねじりを含む）を braid 群 $\mathrm{B}_6$ に持ち上げ、任意の $g \geq 2$ に対して $\mathrm{B}_{2g+2}$ に一般化する。
• 一般化された braid 関係を、ハイパーエリプティック商を介して genus-$g$ 曲面の写像類群へ射影する。
• 写像類群内に $2g+4$（$g$ が偶数のとき）または $2g+10$（$g$ が奇数のとき）の Dehn ねじりを含むモノドロミー関係を構成し、これは Lefschetz フibration のグローバルモノドロミーに対応する。
• 特定の写像類との共役積をとることで、そのモノドロミーに付随する 4 次元多様体の基本群が $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_n$ となるように設計する。
• シンプレクティック 4 次元多様体で基本群が $\pi_1 \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_n$ であるものは、先行研究により複素構造をもたないことを用いる。
• Stipsicz の分類結果を適用する：$b_2^+ = 1$ で、$2g+4$（偶数 $g$）または $2g+10$（奇数 $g$）の消えるサイクルを持つ 4 次元多様体は、それぞれ $\Sigma_{g/2} \times S^2 \# 4\overline{\mathbb{CP}^2}$ や $\Sigma_{(g-1)/2} \times S^2 \# 8\overline{\mathbb{CP}^2}$ に微分同相である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Matsumoto の genus-2 Lefschetz フibration 関係を、braid 群への持ち上げを用いて高 genus の曲面へ一般化し、基本群が制御された非複素 4 次元多様体を構成できるか？
• RQ2 非自明な genus-$g$ Lefschetz フibration が $S^2$ 上に存在する場合、最小の特異ファイバー数は何か？ そしてこれはモノドロミー関係によって実現可能か？
• RQ3 基本群が $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_n$ で $b_2^+ = 1$ である 4 次元多様体は複素構造を持つか？ その障害は何か？
• RQ4 モノドロミーが一般化された関係で与えられる genus-$g$ Lefschetz フibration の微分同相型は何か？

主な発見

• 任意の $g \geq 2$ に対して、$S^2$ 上に genus-$g$ Lefschetz フibration を持つが、いかなる向き付けに対しても複素構造を持たない、互いに同相でない 4 次元多様体が無限に存在する。
• 非自明な genus-$g$ Lefschetz フibration が $S^2$ 上に存在する場合、$g$ が偶数のとき最小で $2g+4$、$g$ が奇数のとき最小で $2g+10$ 個の特異ファイバーを持つが、この上限は達成可能である。
• $X_n$ と表されるモノドロミー関係に付随する 4 次元多様体は、基本群が $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_n$ に同型であり、既知のシンプレクティックトポロジーの結果により複素構造の存在が排除される。
• 偶数 $g$ の場合、4 次元多様体は $\Sigma_{g/2} \times S^2 \# 4\overline{\mathbb{CP}^2}$ に微分同相であり、オイラー標数は $8 - 2g$、シグニチャは $-4$ である。
• 奇数 $g \geq 3$ の場合、4 次元多様体は $\Sigma_{(g-1)/2} \times S^2 \# 8\overline{\mathbb{CP}^2}$ に微分同相であり、オイラー標数は $14 - 2g$、シグニチャは $-8$、$b_2^+ = 1$、$b_2^- = 9$ である。
• 奇数 $g$ のシグニチャ計算は、7 個の $(-2)$-球面と自己交わりが $-2$ の genus-$(g-1)/2$ の曲面を構成することで行われ、交差形式が 7 次元部分空間上で負定値であることを示し、双対性を用いて $b_2^- = 9$ を結論づける。