[論文レビュー] Nonconforming Finite Volume Methods for Second Order Elliptic Boundary Value Problems

Yuanyuan Zhang, Zhongying Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2階楕円境界値問題に対する非適合有限体積法（FVM）の統一収束理論を、非適合有限要素空間を試行関数として用いることで構築する。正則メッシュ条件下で、Crouzeix-Raviart法およびハイブリッドWilson FVMという2つの具体的なスキームについて、メッシュ依存$H^1$-ノルムおよび$L^2$-ノルムにおける最適誤差推定を確立し、収束次数はそれぞれ$O(h)$および$O(h^2)$である。

ABSTRACT

This paper is devoted to analyze of nonconforming finite volume methods (FVMs), whose trial spaces are chosen as the nonconforming finite element (FE) spaces, for solving the second order elliptic boundary value problems. We formulate the nonconforming FVMs as special types of Petrov-Galerkin methods and develop a general convergence theorem, which serves as a guide for the analysis of the nonconforming FVMs. As special examples, we shall present the triangulation based Crouzeix-Raviart (C-R) FVM as well as the rectangle mesh based hybrid Wilson FVM. Their optimal error estimates in the mesh dependent $H^1$-norm will be obtained under the condition that the primary mesh is regular. For the hybrid Wilson FVM, we prove that it enjoys the same optimal error order in the $L^2$-norm as that of the Wilson FEM. Numerical experiments are also presented to confirm the theoretical results.

研究の動機と目的

• 2階楕円問題に適用する非適合有限体積法の一般収束フレームワークを確立すること。
• 非適合FVMの解析における課題、すなわち一様有界性、強楕円性、非適合整合性誤差の取り扱いを解決すること。
• Crouzeix-Raviart法およびハイブリッドWilson FVMという2つの具体的な非適合FVMを、統一されたペトロフ＝ガレルキン定式化に基づいて分析すること。
• これらのスキームにおけるメッシュ依存$H^1$-ノルムおよび$L^2$-ノルムにおける最適誤差推定を導出すること。
• 正確な解が与えられるポアソン問題に対する数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 非適合FVMを、非適合有限要素空間を試行関数として、双対メッシュ上で定義された定数関数を試験関数とするペトロフ＝ガレルキン法として定式化する。
• 離散ノルム不等式、離散双一次型の一様有界性および一様強楕円性に基づいて、一般収束定理を導出する。
• Crouzeix-Raviart FVMにこのフレームワークを適用し、非適合誤差が恒等的に消えることを証明し、メッシュ依存$H^1$-ノルムにおける最適$O(h)$収束を示す。
• 試験空間に定数関数と試行空間からの線形独立関数を組み合わせた手法を用いて、ハイブリッドWilson FVMの$L^2$-ノルム誤差解析を実施する。
• 残留項を抑え、$L^2$-誤差境界を確立するために、グリーンの公式およびシュワーツの不等式を用いる。
• 最小角条件を満たすメッシュ正則性を用いて近似誤差を制御し、最適収束率を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階楕円問題に対する非適合有限体積法の解析に向けた統一的理論枠組みを構築することは可能か？
• RQ2 非適合FVMにおける離散双一次型の一様有界性および一様強楕円性を保証する条件は何か？
• RQ3 非適合整合性誤差は解析の過程でどのように制御または除去できるか？
• RQ4 正則メッシュ仮定下で、非適合Crouzeix-Raviart FVMのメッシュ依存$H^1$-ノルムにおける最適収束次数は何か？
• RQ5 ハイブリッドWilson FVMは、対応するWilson有限要素法と同等の$L^2$-収束次数を達成するか？

主な発見

• 非適合Crouzeix-Raviart FVMは、メッシュ依存$H^1$-ノルムにおいて最適$O(h)$収束を達成し、非適合誤差項は恒等的にゼロである。
• ハイブリッドWilson FVMは、メッシュ依存$H^1$-ノルムで$O(h)$収束、$L^2$-ノルムで$O(h^2)$収束を示し、対応するWilson有限要素法の収束速度と一致する。
• 数値実験により、最小角が$45^\text{circ}$、$\approx18.43^\circ$、および$\approx2.86^\circ$であるさまざまな三角形分割において、Crouzeix-Raviart FVMの$H^1$-ノルムにおける理論的$O(h)$収束次数が確認された。
• ハイブリッドWilson FVMの$L^2$-誤差推定は、低次のFVMおよびWilson FEM解析手法を適応して得られ、正則メッシュ条件下で$O(h^2)$収束を達成した。
• 収束解析は、離散ノルム不等式およびグリーンの公式とシュワーツの不等式を用いた反応項および勾配項の境界評価に依拠している。
• 理論的結果は、正確な解$u(x,y) = -x(x-1)y(y-1)$を有する$[0,1] \times [0,1]$上でのポアソン問題を用いた数値実験により検証され、メッシュの細分化に伴い一貫した収束次数が得られた。