[論文レビュー] Noncontinous additive entropies of partitions

Tomasz Sobieszek|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2012

Functional Equations Stability Results参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、連続性の仮定を外して加法的分割エントロピーの特徴付けを拡張し、任意の such エントロピーが標準的エントロピーと、有理数の自己準同型への値をとるファイニットリー加法的集合関数から導かれる成分に分解されることを証明している。主な貢献は、凸錐上の対称的2コサイクルがコバウンダリーであることを示すホモロジー的結果であり、エントロピー分解の根幹をなす関数方程式を解消する。

ABSTRACT

In a previous paper: A. Paszkiewicz, T. Sobieszek, Additive Entropies of Partitions, we have given a description of additive partition entropies that is real functions $I$ on the set of finite partitions that are additive on stochastically independent partitions in a given probability space. We now present an analogical result, this time without assuming continuity. As a by-product of our efforts we solve a 2-cocycle functional equation for certain subsets of convex cones.

研究の動機と目的

• 連続性の仮定をせず加法的分割エントロピーを特徴付けること。これにより、従来の連続性を要件としていた結果を拡張する。
• 凸錐上の対称関数に対して2コサイクル関数方程式を解くこと。
• 特定の凸錐部分集合上での2コサイクル方程式のすべての対称的解がコバウンダリーであることを証明すること。
• 加法的分割エントロピーの構造的分解を、標準的エントロピーとファイニットリー加法的集合関数を用いた補正項に分けること。

提案手法

• 等しいP測度を持つ集合の間で、加法性および対称差零集合に関して不変であるような、End(R)に値をとる写像∆(V, W)を定義する。
• P零集合上で消えるような、X → End(R) となるファイニットリー加法的集合関数mを構成し、∆(V, W) = m(W) − m(V) が成り立つようにする。
• 凸錐上で定義された関数fを導入し、置換対称性と一般化された結合則条件（式3）を満たすようにする。
• Zornの補題を用いて部分解の族に適用することで、f(a₁,…,aₙ) = h(∑aᵢ) − ∑h(aᵢ) を満たす関数h: M → L の存在を証明する。
• Q線形包を用いたレイトルベースの構成により、局所解を凸錐全体に拡張し、関数方程式(7) h(a + b) = h(a) + h(b) + f(a, b) を満たすようにする。
• この結果を応用して、エントロピーIがI = H_P + L_mに分解されることを示し、ここでH_Pは標準的エントロピーであり、L_mはm(Aᵢ)にlog(1/P(Aᵢ))を適用した対数和である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の研究が連続性を仮定していたのと同様に、連続性の仮定なしに加法的分割エントロピーを完全に特徴付けられるか？
• RQ2 凸錐上の対称的2コサイクルがコバウンダリーであるための条件は何か？
• RQ3 指定された性質を備えた凸錐上での2コサイクル方程式のすべての解が、単一の関数hによるコバウンダリー公式から生じるか？
• RQ4 連続性が仮定されない場合の加法的分割エントロピーの構造的分解は何か？

主な発見

• 連続性の仮定なしに加法的分割エントロピーIは、I = H_P + L_mに分解され、ここでH_Pは標準的エントロピーであり、L_mはP零集合上で消えるような、X → End(R) となるファイニットリー加法的集合関数mから導かれる。
• 特定の凸錐部分集合上での2コサイクル関数方程式のすべての対称的解は、部分解の族に対するZornの補題の適用によりコバウンダリーであることが証明された。
• 関数fが与えられた対称性および結合則条件を満たす限り、f(a₁,…,aₙ) = h(∑aᵢ) − ∑h(aᵢ) を満たす関数h: M → L の存在が保証される。
• エントロピー分解におけるm値の差から生じる関数fは、一般化された結合則および置換対称性を満たし、分割間で一貫性を保証する。
• 関数hの構成は、レイトルおよび凸錐上の局所解の拡張により達成され、生成集合Mに対してa + b ∈ M ならばa, b ∈ M が成り立つ条件を用いる。
• この結果は、L_m成分が原子の測度にのみ依存する、すなわちm(A) = α(P(A)) for some fixed α ∈ End(R) であるとき、かつそのときに限り成立する。