[論文レビュー] Nonconvex piecewise linear functions: Advanced formulations and simple modeling tools

Joey Huchette, Juan Pablo Vielma|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Formal Methods in Verification被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、幾何的および組合せ的アプローチを用いて非凸な区分線形関数の新しい混合整数プログラミング（MIP）定式化を提示し、1変数の場合には最大3倍の高速化、2変数の場合には桁違いの性能向上を達成した。また、Juliaを基盤とするモデリングツールであるPiecewiseLinearOptを導入し、複雑な定式化を抽象化することで、ユーザーが低レベルのMIPの複雑さにさらされることなく、高水準かつ効率的なモデリングが可能になった。

ABSTRACT

We present novel mixed-integer programming (MIP) formulations for optimization over nonconvex piecewise linear functions. We exploit recent advances in the systematic construction of MIP formulations to derive new formulations for univariate functions using a geometric approach, and for bivariate functions using a combinatorial approach. All formulations are strong, small (so-called logarithmic formulations), and have other desirable computational properties. We present extensive experiments in which they exhibit substantial computational performance improvements over existing approaches. To accompany these advanced formulations, we present PiecewiseLinearOpt, an extension of the JuMP modeling language in Julia that implements our models (alongside other formulations from the literature) through a high-level interface, hiding the complexity of the formulations from the end-user.

研究の動機と目的

• 特に高次元または複雑な状況において、既存のMIP定式化の計算上の非効率性を解消すること。
• 1変数および2変数の非凸区分線形関数に対して、より強固で小さく（対数的サイズ）、計算的に優れた定式化を開発すること。
• 高度なMIP定式化と実用性のギャップを埋めるために、定式化の複雑さを隠す高水準なモデリングインターフェースを構築すること。
• ベンチマーク問題および実世界の問題に対する広範な計算実験を通じて、新定式化が既存のものよりも優れていることを実証すること。
• ユーザーフレンドリーなモデリングフレームワークに高度なMIP技術を統合することで、広範な採用を可能にすること。

提案手法

• 一般整数変数（バイナリ変数ではなく）を用いた幾何的定式化構築技術を1変数関数に適用し、分岐の挙動を改善する。
• 2変数関数に対して、グリッド三角形分割領域上での組合せ的定式化技術を拡張し、新たな対数的サイズの定式化族を生成する。
• 強い（緩和解がタイトな）、小さな（セグメント数に対して対数的サイズ）、計算的に効率的な定式化を設計する。
• PiecewiseLinearOptを実装し、JuMPのJuliaベースの拡張として、区分線形関数をモデリングする高水準APIを提供する。
• 非線形関数（例：ロジスティック関数）の区分線形近似を確率的最適化問題に適用し、性能を検証する。
• 合成および実世界のインスタンスに対して、最先端の代替手法（例：LogE、ZZB、ZZI）と比較し、解法時間、最適性ギャップ、成功確率を測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般整数変数を用いた幾何的MIP定式化技法は、従来のバイナリ変数ベースの対数的サイズ定式化と比較して、1変数非凸区分線形関数の計算性能を向上させることができるか？
• RQ2 組合せ的定式化構築法をグリッド三角形分割領域上の2変数非凸区分線形関数に拡張することで、対数的サイズかつ強い定式化を達成できるか？
• RQ3 難易度の高いインスタンスにおいて、新定式化は解法時間およびスケーラビリティの観点で、既存の最先端定式化をどの程度上回るか？
• RQ4 PiecewiseLinearOptのような高水準モデリングツールは、計算効率と使いやすさを維持したまま、複雑なMIP定式化を効果的に抽象化できるか？
• RQ5 ロジスティック近似を用いた確率的選択肢割合問題のような実世界の応用において、新定式化はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 提案された1変数定式化は、難易度の高いインスタンスにおいて、既存の定式化と比較して最大3倍の高速化を達成しており、主に分岐の挙動の改善によるものである。
• 2変数関数に関しては、新定式化が従来手法と比較して計算性能で桁違いの向上を達成した。
• シェア・オブ・チョイス問題ベンチマークにおいて、ZZI定式化が他のすべての定式化を上回り、30分以内に18個のインスタンスのうち13個を解消した。一方、LogEはいかなるインスタンスも解けなかった。
• ZZI定式化の平均解法時間は776.2秒であり、LogEの3600秒（収束失敗）およびZZBの3525.5秒よりも顕著に低かった。
• PiecewiseLinearOptパッケージにより、ユーザーは洗練された高水準インターフェースを用いて、複雑な区分線形関数をモデル化可能であり、低レベルのMIP定式化の複雑さを隠すことができる。
• 本研究では、高度なMIP定式化が、使いやすいモデリングツールと組み合わせられることで、非凸区分線形最適化の実用性と採用が顕著に向上することを示した。