[論文レビュー] Noncrossing partitions of an annulus

Laura G. Brestensky, Nathan Reading|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アフィン型 $\widetilde{A}$ および $\widetilde{C}$ の非交叉分割の平面図モデルを導入し、環状領域上の非交叉分割と、2つのオルビフォールド点を持つ円板上の対称的非交叉分割を用いる。 Coxeter群上の絶対順序における区間 $[1,c]_T$ がこれらの平面モデルと同型であることを確立し、型 $\widetilde{C}$ において、翻訳が因子分解なしに単一の巡回置換として自然に実現されることを示し、モデルの組合せ論と整合的である。

ABSTRACT

The noncrossing partition poset associated to a Coxeter group $W$ and Coxeter element $c$ is the interval $[1,c]_T$ in the absolute order on $W$. We construct a new model of noncrossing partititions for $W$ of classical affine type, using planar diagrams (affine types $ ilde A$ and $ ilde C$ in this paper and affine types $ ilde D$ and $ ilde B$ in the sequel). The model in type $ ilde A$ consists of noncrossing partitions of an annulus. In type $ ilde C$, the model consists of symmetric noncrossing partitions of an annulus or noncrossing partitions of a disk with two orbifold points. Following the lead of McCammond and Sulway, we complete $[1,c]_T$ to a lattice by factoring the translations in $[1,c]_T$, but the combinatorics of the planar diagrams leads us to make different choices about how to factor.

研究の動機と目的

• 有限コクセター型における非交叉分割の平面図モデルを、古典的アフィン型 $\widetilde{A}$ および $\widetilde{C}$ に拡張すること。
• アフィンコクセター群上の絶対順序における区間 $[1,c]_T$ の幾何的実現を、平面図を用いて行うこと。
• 型 $\widetilde{A}$ において翻訳を因子分解することで $[1,c]_T$ のラティス完備化問題を解決する一方、型 $\widetilde{C}$ ではそのような因子分解が不要であることを示すこと。

提案手法

• 同心円上の点を結ぶ非交叉曲線からなる、環状領域上の非交叉分割を構成し、型 $\widetilde{A}$ の幾何的モデルとする。
• 2次回転に関して不変な、環状領域上の対称的非交叉分割を定義し、型 $\widetilde{C}$ においては、2つの2階オルビフォールド点を持つ円板上の非交叉分割に下方への帰着を行う。
• 群の元を、軌道の射影によるアフィンコクセター群からコクセター平面への射影により、平面図を実現する。
• コクセター平面を用いて、群の元の巡回構造を分割として解釈し、投影図におけるブロックを巡回に一致させる。
• 翻訳要素をその巡回構造を調べることで $[1,c]_T$ で分析し、型 $\widetilde{C}$ においては、$i$ が符号に含まれる形の単一巡回置換 $(\cdots i\; i+2n\cdots)$ に対応することを示す。
• このような翻訳を2つの互いに素な巡回に因子分解することは、$V$ 内の根系構造を保存しないため、幾何的に整合しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン型 $\widetilde{A}$ の非交叉分割は、環状領域の平面図としてどのように幾何的にモデル化できるか？
• RQ2 アフィン型 $\widetilde{C}$ の非交叉分割に適した平面モデルは何か？ そして、オルビフォールド面とどのように関係するか？
• RQ3 なぜ型 $\widetilde{C}$ においては、型 $\widetilde{A}$ とは異なり、翻訳を因子分解することは幾何的・代数的に不適切なのか？
• RQ4 非交叉分割の平面図は、コクセター群上の絶対順序における区間 $[1,c]_T$ の構造をどのように反映しているか？
• RQ5 コクセター平面は、群の軌道の射影を通じて、非交叉分割の組合せ論を実現する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 環状領域上の非交叉分割は、アフィン型 $\widetilde{A}$ の区間 $[1,c]_T$ を完全に幾何的にモデル化するものであり、ブロックは内周と外周の点を結ぶ非交叉曲線に対応する。
• 型 $\widetilde{C}$ においては、180°回転に関して不変な環状領域上の対称的非交叉分割が、2つの2階オルビフォールド点を持つ円板上の非交叉分割と同型なモデルをもたらす。
• 型 $\widetilde{C}$ の $[1,c]_T$ 内の翻訳は、$i$ が符号に含まれる形の $(\cdots i\; i+2n\cdots)$ という単一巡回置換に正確に一致し、これらは両方のオルビフォールド点と1つの番号付き点を含む1つのブロックに対応する。
• 型 $\widetilde{C}$ の翻訳の巡回構造は、ベクトル空間 $V$ 内の根系構造を保存する2つの互いに素な巡回に因子分解できないため、そのような因子分解は幾何的に無効である。
• モデルにより、型 $\widetilde{C}$ においては区間 $[1,c]_T$ はすでにラティスであることが示され、翻訳の因子分解は不要である（型 $\widetilde{A}$ とは対照的で、ここでは因子分解が必要である）。
• 平面モデルにより、非交叉分割の組合せ論が、特に翻訳要素が図における巡回としてどのように実現されるかを含め、コクセター群の代数的構造と整合することが確認された。