[論文レビュー] Noncrossing partitions under rotation and reflection

David Callan, Len Smiley|ArXiv.org|Oct 20, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、回転および折り返し対称性の下での[n]の非交差分割を研究し、非交差分割の回転類と2色平面木の間の自然な全単射を確立する。Krewerasにインspiredされた対合を用いて、自己補完的非交差分割の数が、回折的不変（アキラル）な非交差分割パターンの数に等しいことを証明する。主な結果は、2つの対称性類間の組合せ的等数性であり、カタラン数および中心二項係数への応用を有する。

ABSTRACT

We consider noncrossing partitions of [n] under the action of (i) the reflection group (of order 2), (ii) the rotation group (cyclic of order n) and (iii) the rotation/reflection group (dihedral of order 2n). First, we exhibit a bijection from rotation classes to bicolored plane trees on n edges, and consider its implications. Then we count noncrossing partitions of [n] invariant under reflection and show that, somewhat surprisingly, they are equinumerous with rotation classes invariant under reflection. The proof uses a pretty involution originating in work of Germain Kreweras. We conjecture that the "equinumerous" result also holds for arbitrary partitions of [n].

研究の動機と目的

• 回転および反転群の作用の下での[n]の非交差分割を分析すること。
• n本の辺を持つ2色平面木と非交差分割の回転類の間の全単射を確立すること。
• 自己補完的非交差分割の数を数え、それが回折的不変（アキラル）な非交差分割パターンの数とどのように関係するかを比較すること。
• 自己補完的非交差分割とアキラル回転類の間の等数性が、非交差分割に限らず一般の分割に対しても成り立つかを調査すること。

提案手法

• ブロックの多角形表現を用いて、非交差分割の回転類からn本の辺を持つ2色平面木への全単射を構成する。
• Dyckパス符号化を用いてDyckパスを非交差分割に写像し、ピーク数がブロック数に対応することを示す。
• 群の作用に基づくラベル付き分割に対するカウチ＝フロベニウスの補題（バーンサイドの補題）を適用し、回転類および二面体類の数を数える。
• Krewerasにインスパイアされた組合せ的対合を用いて、自己補完的非交差分割とアキラル非交差分割パターンの間の等数性を証明する。
• 母関数と既知の列挙結果（例：A054357, A001405）を用いて結果の検証および一般化を行う。
• 既知の平面木およびカクティの結果を活用し、自由な2色平面木の数を確認し、非交差分割パターンと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射に対して不変である[n]の非交差分割はいくつで、それらは回転類とどのように関係するか？
• RQ2 自己補完的非交差分割とアキラル非交差分割パターンの間の等数性の背後にある構造的根拠は何か？
• RQ3 この等数性の結果は、非交差分割に限らずすべての分割に拡張可能か？
• RQ4 非交差分割の回転類と2色平面木との間の正確な関係は何か？
• RQ5 回転類および二面体類の数は、カタラン数および中心二項係数とどのように関係するか？

主な発見

• nの自己補完的非交差分割の数は、ちょうど中心二項係数$\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$に等しい。
• n点における非交差分割の回転類とn本の辺を持つ2色平面木の間には全単射が存在する。
• 反射に対して不変（アキラル）な非交差分割パターンの数は、自己補完的非交差分割の数に等しい。
• カウチ＝フロベニウスの補題により、非交差二面体類の数の公式が得られる：$\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} + \sum_{\substack{1\leq i<n \\ i|n}} \phi(\frac{n}{i}) \binom{2i}{i} \right)$。
• アキラルでない（キラルな）非交差分割パターンの数は$\frac{1}{2}(A054357 - A001405)$で与えられ、バーンサイドの補題による確認がなされる。
• 著者らは、自己補完的分割とアキラル回転類の間の等数性が、非交差分割に限らずすべての分割に対して成り立つと予想している。