[論文レビュー] Nondegeneracy of Random Field and Estimation of Diffusion

Masayuki Uchida, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Statistical Methods and Inference被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、高頻度観測におけるdiffusion過程のための準尤度解析を確立し、準尤度確率場に関する多項型大偏差不等式を証明することによって達成されている。主な貢献は、テンソルバンドル断面の議論を用いて得られる、新たな非退化性基準により、ランダムインデックス $χ_0$ の非退化性を確立したことである。これにより、高頻度サンプリング下での推定量の漸近正規性およびモーメント収束が可能となる。

ABSTRACT

We construct a quasi likelihood analysis for diffusions under the high-frequency sampling over a finite time interval. For this, we prove a polynomial type large deviation inequality for the quasi likelihood random field. Then it becomes crucial to prove nondegeneracy of a key index chi_0. By nature of the sampling setting, chi_0 is random. This makes it difficult to apply a naive sufficient condition, and requires a new machinery. In order to establish a quasi likelihood analysis, we need quantitative estimate of the nondegeneracy of chi_0. The existence of a nondegenerate local section of a certain tensor bundle associated with the statistical random field solves this problem.

研究の動機と目的

• 高頻度離散観測下におけるdiffusion過程のための準尤度解析における非退化性の課題に取り組む。
• 古典的な決定論的条件では取り扱えない、ランダムで非退化なインデックス $\chi_0$ の困難を克服する。
• 統計的確率場のための定量的非退化性基準を構築し、モーメント収束および高次推論を可能にする。
• 高頻度漸近下でのモーメント収束を保証する準最尤推定およびベイズ推定の枠組みを確立する。
• 確率過程における局所的に漸近的に混合正規（LAMN）実験に一般に適用可能な分析的道具を提供する。

提案手法

• 未知のドリフトおよびパラメータ $θ$ に依存する拡散係数をもつ確率積分方程式として、確率的回帰モデルを定式化する。
• 有限時間区間における高頻度離散観測に基づき、準尤度確率場 $\mathbb{Z}_n(u)$ を定義する。
• 尾確率を制御し、モーメント収束を可能にするために、準尤度場に関する多項型大偏差不等式を証明する。
• 統計的場に関連するテンソルバンドルの非退化な局所的断面の存在を用いた、新たな非退化性条件を導入する。
• Malliavin微積分と正則性推定を用いて、パrameter空間全体にわたる対数尤度場の微分を一様に制御する。
• Ibragimov-Has'遗minskii-Kutoyantsの枠組みを確率的設定に応用し、Yoshida (2005) のLAQモデルのフレームワークを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプリング設計に起因して本質的にランダムである $\chi_0$ の非退化性は、どのように確立できるか？
• RQ2 準尤度場を制御するテンソルバンドルの非退化な局所的断面の存在を保証する条件は何か？
• RQ3 観測不能なドリフトをもつ高頻度diffusionモデルに対して、多項型大偏差不等式を導出できるか？
• RQ4 準最尤推定量がLAMN設定下でモーメント収束を達成するための条件は何か？
• RQ5 解析的道具は、diffusion過程の状態空間における特異点または不規則点を扱うためにどのように拡張できるか？

主な発見

• 高頻度観測下において、準尤度確率場に関する多項型大偏差不等式が確立され、高次漸近的解析が可能となった。
• $\chi_0$ の非退化性は、テンソルバンドルの非退化な局所的断面の存在を用いて証明され、連続な補助関数に依存しない、画期的な条件となった。
• 新しい非退化性基準の下で、準最尤推定およびベイズ推定のモーメント収束が確立された。
• 特異点に到達する可能性があるdiffusion過程に対しても、その過程が速やかに正則領域に脱出する限り、理論的結果が拡張可能であることが示された。
• モーメント収束を根拠に、モデル選択および情報量基準の適用が可能となり、Uchida (2010) の関連研究で実証された。
• 本手法は、多変量diffusion過程および時変係数モデル（例えば、確率ボラティリティモデルを含む）に対しても、高頻度観測下で適用可能である。