[論文レビュー] Nondeterministic Quantum Query and Quantum Communication Complexities

Ronald de Wolf|ArXiv.org|Jan 19, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、関数の出力が1のときに正の確率で受理する量子アルゴリズムを特徴づける、非決定的量子クエリおよび通信複雑性の新しい定義を導入する。非決定的量子クエリ複雑性が関数の非決定的多項式の次数に等しいことを確立し、クエリおよび通信複雑性の両設定において、指数的量子古典的ギャップを示している。

ABSTRACT

We study nondeterministic quantum algorithms for Boolean functions f. Such algorithms have positive acceptance probability on input x iff f(x)=1. In the setting of query complexity, we show that the nondeterministic quantum complexity of a Boolean function is equal to its ``nondeterministic polynomial'' degree. We also prove a quantum-vs-classical gap of 1 vs n for nondeterministic query complexity for a total function. In the setting of communication complexity, we show that the nondeterministic quantum complexity of a two-party function is equal to the logarithm of the rank of a nondeterministic version of the communication matrix. This implies that the quantum communication complexities of the equality and disjointness functions are n+1 if we do not allow any error probability. We also exhibit a total function in which the nondeterministic quantum communication complexity is exponentially smaller than its classical counterpart.

研究の動機と目的

• 入力1に対して正の受理確率を持つという基準に基づき、非決定的量子アルゴリズムの新しい定式化と分析を行う。
• 非決定的量子クエリおよび通信複雑性の正確な代数的特徴づけを確立する。
• クエリおよび通信モデルの両方において、顕著な量子古典的複雑性ギャップを示す。
• 提案された定義を、代替の非決定的量子の定義と比較し、表現力の面で優位であることを示す。

提案手法

• 非決定的量子アルゴリズムを、f(x) = 1 のときに正の確率で受理し、f(x) = 0 のときに確率0で受理するものとして定義する。
• ブール関数の非決定的量子クエリ複雑性が、その非決定的多項式の次数に等しいことを証明する。
• 量子検証プロトコルを用いて証明書検証モデルをシミュレートし、新しい定義が厳密に強力であることを示す。
• 量子通信複雑性と非決定的通信行列のランクの対数との間の関係を確立する。
• 等価性関数と互いに素関数を分析し、ゼロエラー条件下でそれらの量子通信複雑性が n+1 であることを示す。
• 非決定的量子通信複雑性が古典的複雑性よりも指数的に小さい明示的な全関数を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非決定的量子クエリ複雑性の正確な代数的特徴づけは何か？
• RQ2 提案された量子非決定性の定義は、証明書検証モデルと比べてどの程度の表現力を持つか？
• RQ3 新しい定義のもとで、クエリおよび通信複雑性の両方において指数的量子古典的ギャップを達成できるか？
• RQ4 ゼロエラー制約下での基本的関数（等価性や互いに素）の量子通信複雑性は何か？
• RQ5 非決定的量子通信複雑性が古典的複雑性よりも指数的に小さい全関数は存在するか？

主な発見

• ブール関数 f の非決定的量子クエリ複雑性は、その非決定的多項式の次数に正確に等しい。
• 非決定的量子クエリ複雑性が1である全関数が存在するが、証明書検証モデルでは Ω(√n) クエリが必要であるため、新しい定義が厳密に強力であることが証明された。
• ゼロエラーが要求される条件下で、等価性関数の非決定的量子通信複雑性は n+1 である。
• ゼロエラー制約下では、互いに素関数の非決定的量子通信複雑性も n+1 である。
• 非決定的量子通信複雑性がその古典的対応物よりも指数的に小さい明示的な全関数が構築された。
• 関数の量子通信複雑性は、その非決定的通信行列のランクの対数に等しい。