[論文レビュー] Nondoubling Calder\'on-Zygmund theory -a dyadic approach-

José M. Conde Alonso, Javier Parcet|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多項式成長を示す測度の台に、極めて不規則な原子的マルティングールフィルトレーションを構成することにより、非ダブルィング型Calderón-Zygmund理論の二重的枠組みを導入する。原子はダブルィング球と同等であり、弱い正則性条件を満たすため、新たな$A_2$-型の評価、補間性質を保つ非可換なdyadic RBMO空間、非同調的Calderón-Zygmund理論の非可換拡張が得られる。

ABSTRACT

Given a measure $\\mu$ of polynomial growth, we refine a deep result by David and Mattila to construct an atomic martingale filtration of $\\mathrm{supp}(\\mu)$ which provides the right framework for a dyadic form of nondoubling harmonic analysis. Despite this filtration being highly irregular, its atoms are comparable to balls in the given metric |which in turn are all doubling| and satisfy a weaker but crucial form of regularity. Our dyadic formulation is effective to address three basic questions: i) A dyadic form of Tolsa's RBMO space which contains it. ii) Lerner's domination and $A_2$-type bounds for nondoubling measures. iii) A noncommutative form of nonhomogeneous Calder\\'on-Zygmund theory. Our martingale RBMO space preserves the crucial properties of Tolsa's original definition and reveals its interpolation behavior with the $L_p$ scale in the category of Banach spaces, unknown so far. On the other hand, due to some known obstructions for Haar shifts and related concepts over nondoubling measures, our pointwise domination theorem via sparsity naturally deviates from its doubling analogue. In a different direction, matrix-valued harmonic analysis over noncommutative $L_p$ spaces has recently produced profound applications. Our analogue for nondoubling measures was expected for quite some time. Finally, we also find a dyadic form of the Calder\\'on-Zygmund decomposition which unifies those by Tolsa and L\\'opez-S\\'anchez/Martell/Parcet.

研究の動機と目的

• 古典的ツールがダブルィングの欠如により失敗する非ダブルィング調和解析のためのdyadic枠組みを構築すること。
• フィルトレーションの高い不規則性にもかかわらず、原子が$(\alpha,\beta)$-ダブルィング球と同等であるような$\mathrm{supp}(\mu)$上でのマルティングールフィルトレーションを構築すること。
• TolsaのRBMO空間のdyadic版を確立し、$L_p$空間との補間性質を保ちつつ、Calderón-Zygmund作用素の$L_p$有界性を可能にする。
• 行列値調和解析を用いて非可換$L_p$空間へ理論を拡張し、非同調的設定における長年のギャップを埋めること。
• スパarsityを用いた点ごとの支配定理を証明し、Lernerの手法を非ダブルィング測度へ適応するが、Haarシフト理論における障害のため、ダブルィング版とは逸脱する。

提案手法

• DavidとMattilaの構成を精緻化し、各原子$Q$が$B_Q \subset Q \subset 28B_Q$を満たすような、$\mathrm{supp}(\mu)$上での二重側原子的マルティングールフィルトレーション$\{\Sigma_k\}$を構築する。ここで$B_Q$は$(\alpha,\beta)$-ダブルィング球である。
• 弱い正則性条件を課す：$Q$の親$R$に関して、$x \in Q$に対し、積分$\int_{\alpha B_R \setminus 56B_Q} \frac{d\mu(y)}{|x-y|^n} \lesssim 1$が成り立つ。
• フィルトレーションを用いて非可換$L_p$空間$L_p(\mathcal{A})$上にdyadic RBMO空間$\mathrm{RBMO}_\Sigma(\mathcal{A})$を定義し、John-Nirenberg性および補間性質を保つ。
• 非ダブルィング測度に適応されたスパarsity支配原理を用い、スパース作用素が点ごとの意味でCalderón-Zygmund作用素を支配し、$A_2$-型の評価を得る。
• 非可換設定において作用素ノルムを制御するため、作用素値Hörmander条件とサイズ推定を用い、von Neumann代数$\mathcal{M}$の$C^*$性質を活用する。
• TolsaとLópez-Sánchez/Martell/ParcetのCalderón-Zygmund分解を、フィルトレーションの原子的構造を用いて統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dyadic doublingが存在しないにもかかわらず、非ダブルィング型Calderón-Zygmund理論のdyadic形式を構築できるか？
• RQ2 フィルトレーションが極めて不規則であっても、原子がダブルィング球と同等であり、弱い正則性条件を満たすマルティングールフィルトレーションが存在するか？
• RQ3 非可換$L_p$設定におけるTolsaの元来のRBMO空間の補間性質を保つdyadic RBMO空間を構築できるか？
• RQ4 Haarシフト理論における障害のため、Lernerのスパarsity支配原理を非ダブルィング測度へ適応でき、$A_2$-型の評価を得られるか？
• RQ5 TolsaのバージョンとLópez-Sánchez/Martell/Parcetのバージョンを一般化する統一的なdyadic Calderón-Zygmund分解が非ダブルィング設定で存在するか？

主な発見

• 二重側原子的マルティングールフィルトレーション$\{\Sigma_k\}$が$\mathrm{supp}(\mu)$上に存在し、各原子$Q$は$B_Q \subset Q \subset 28B_Q$を満たす$(\alpha,\beta)$-ダブルィング球$B_Q$を備える。ここで$\alpha,\beta > 100$である。
• 弱い正則性条件$\int_{\alpha B_R \setminus 56B_Q} \frac{d\mu(y)}{|x-y|^n} \lesssim 1$がすべての$x \in Q$に対して成り立ち、特異積分の制御が可能である。
• dyadic RBMO空間$\mathrm{RBMO}_\Sigma(\mathcal{A})$はJohn-Nirenberg性を保ち、$1 < p < \infty$に対して$L_p(\mathcal{A})$と補間可能である。これは以前未知であった性質である。
• 非ダブルィング測度上でのCalderón-Zygmund作用素に対して、スパarsityを用いた点ごとの支配定理が成り立ち、$A_2$-型の評価が得られるが、Haarシフト理論の障害のため、ダブルィング版とは逸脱する。
• 非可換Calderón-Zygmund理論が非ダブルィング測度へ拡張され、dyadic RBMOのエンドポイント推定を用いて、Calderón-Zygmund作用素の$L_p(\mathcal{A})$有界性が確立された。
• 作用素値Hörmander条件とサイズ条件（次数$n$）が、核のリプシッツ滑らかさを要件とせず、$\mathcal{A} \to \mathrm{RBMO}_\Sigma(\mathcal{A})$のエンドポイント推定に十分である。