[論文レビュー] Nonequilibrium density matrix for thermal transport in quantum field theory

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、異なる温度にある二つの熱浴を備えたクエンチ系にケルディシュ形式を適用することで、1次元の質量のある相対論的量子場理論におけるエネルギー輸送の非平衡密度行列を提案する。主な結果は、左・右の熱浴温度に依存する因子化された形で記述される、散乱状態のギブス型集合に類似したものであり、定常状態のエネルギー流量を自然に記述する。

ABSTRACT

In these notes I explain how to describe one-dimensional quantum systems that are simultaneously near to, but not exactly at, a critical point, and in a far-from-equilibrium steady state. This description uses a density matrix on scattering states (of the type of Hershfield's density matrix), or equivalently a Gibbs-like ensemble of scattering states. The steady state I am considering is one where there is a steady flow of energy along the chain, coming from the steady draining / filling of two far-away reservoirs put at different temperatures. The context I am using is that of massive relativistic quantum field theory, which is the framework for describing the region near quantum critical points in any universality class with translation invariance and with dynamical exponent z equal to 1. I show, in this completely general setup, that a particular steady-state density matrix occurs naturally from the physically motivated Keldysh formulation of the steady state. In this formulation the steady state occurs as a result of a large-time evolution from an initial state where two halves of the system are separately thermalized. I also show how this suggests a particular dependence (a "factorization") of the average current on the left and right temperatures. The idea of this density matrix was proposed already in a recent publication with my collaborator Denis Bernard, where we studied it in the context of conformal field theory.

研究の動機と目的

• 臨界点付近ではあるが臨界点でない量子系における非平衡定常状態を記述する一般的枠組みを構築すること。
• ケルディシュ形式とエネルギー輸送のギブス型集合に類似した散乱状態の集合との関係を確立すること。
• 有限温度・非平衡状態のエネルギー輸送を記述する定常状態密度行列を、場の理論的導出によって得ること。
• 従来の conformal field theory の手法を、質量のある相対論的量子場理論へ一般化すること。
• 可積分性と場の理論的手法を用いて、非平衡定常状態における電流ゆらぎと熱力学を研究する基盤を築くこと。

提案手法

• 無限大の系の両半分が別々に異なる温度で熱化された初期状態からの時間発展をケルディシュ形式で記述する。
• 局所的クエンチ（有限サイズの摂動）を適用して、熱化された両半分を接続し、定常状態のエネルギー流量を生じさせる。
• 真空状態および励起状態の写像を用いて、漸近的散乱状態における密度行列を導出する。
• 無限大系における漸近状態の特定とセルキャンセレーションの議論を通じて、定常状態の存在を確立する。
• 定常状態密度行列が、温度に依存する重みを持つギブス型集合に類似した散乱状態の集合と等価であることを示す。
• 形式的枠組みを用いて、平均電流が左・右の熱浴温度に因子化された依存関係を示すことを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量のある相対論的量子場理論において、有限のエネルギー流量を持つ非平衡定常状態を一貫して記述する方法は何か？
• RQ2 このような定常状態を記述する密度行列の数学的構造は何か？
• RQ3 ケルディシュ形式が、この文脈においてなぜ自然にギブス型集合に類似した散乱状態の集合を導くのか？
• RQ4 エネルギー流量が左・右の熱浴温度にどのように依存するか？
• RQ5 臨界点付近のスケーリング限界における量子スピンチェーンにおいて、定常状態密度行列を明示的に構成できるか？

主な発見

• 質量のある1+1次元量子場理論において、ケルディシュ形式を用いた定常状態密度行列が、局所的クエンチを伴う無限大系に対して導出された。
• 定常状態は、異なる温度で熱化された両半分をクエンチで接続した系の長時間発展から自然に生じる。エネルギー流量は温度勾配に起因する。
• 密度行列は、散乱状態のギブス型集合に類似しており、Hershfieldのアプローチをエネルギー輸送へ一般化したものである。
• 平均エネルギー流量は、左・右の熱浴温度に因子化された依存関係を示し、$ J = \int_{T_r}^{T_l} dT \, G(T) $ と表される。ここで $ G(T) $ は線形コンダクタンスである。
• この構成は、無限大系のサイズとクエンチの局所性に強く依存しており、セルキャンセレーションの議論において、横方向が無限大に及ぶ高次元系では重なりが消失するため、破綻する。
• この形式的枠組みは、共形場理論を超えた非平衡定常状態を研究する一般化された場の理論的基盤を提供し、電流ゆらぎや熱力学の研究への道筋を開く。