[論文レビュー] Nonequilibrium dynamics of noninteracting fermions in a trap

David S. Dean, Pierre Le Doussal+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、初期平衡状態からの量子クイルチングに続く、トラップ内に閉じ込められたN個の相互作用のないフェルミ粒子のリアルタイム量子力学的ダイナミクスを調査する。特に、Wigner関数および相関関数の時間発展に注目する。調査では、調和型および逆二乗型ポテンシャルに対して正確な解を導出し、時間に依存する幅を持つ時間発展においてもエッジ普遍性（AiryまたはBesselカーネルで記述される）が維持されることを示し、大N・固定ℏの量子的状態において、対角密度行列を用いた一般化されたギブズ集合（GGE）との一致を確認する。

ABSTRACT

We consider the real time dynamics of $N$ noninteracting fermions in $d=1$. They evolve in a trapping potential $V(x)$, starting from the equilibrium state in a potential $V_0(x)$. We study the time evolution of the Wigner function $W(x,p,t)$ in the phase space $(x,p)$, and the associated kernel which encodes all correlation functions. At $t=0$ the Wigner function for large $N$ is uniform in phase space inside the Fermi volume, and vanishes at the Fermi surf over a scale $e_N$ being described by a universal scaling function related to the Airy function. We obtain exact solutions for the Wigner function, the density, and the correlations in the case of harmonic and inverse square potentials, for several $V_0(x)$. In the large $N$ limit, near the edges where the density vanishes, we obtain limiting kernels (of the Airy or Bessel types) that retain the form found in equilibrium, up to a time dependent rescaling. For non-harmonic traps the evolution of the Fermi volume is more complex. Nevertheless we show that, for intermediate times, the Fermi surf is still described by the same equilibrium scaling function, with a non-trivial time and space dependent width which we compute analytically. We discuss the multi-time correlations and obtain their explicit scaling forms valid near the edge for the harmonic oscillator. Finally, we address the large time limit where relaxation to the Generalized Gibbs Ensemble (GGE) was found to occur in the "classical" regime $\hbar \sim 1/N$. Using the diagonal ensemble we compute the Wigner function in the quantum case (large $N$, fixed $\hbar$) and show that it agrees with the GGE. We also obtain the higher order (non-local) correlations in the diagonal ensemble.

研究の動機と目的

• 初期平衡状態からの量子クイルチングに続く、トラップ内非相互作用フェルミ粒子のリアルタイム量子力学的ダイナミクスを理解すること。
• 平衡状態で観測される普遍的エッジ挙動（Airy/Besselカーネル）が、非平衡状態における時間発展でも継続するかどうかを調査すること。
• 大N・固定ℏの量子的状態において、対角密度行列と一般化されたギブズ集合（GGE）との関係を確立すること。
• 調和型トラップにおけるエッジ近傍の多時間相関関数を計算し、それらの普遍的スケーリング形を導出すること。
• 長時間における緩和ダイナミクスを分析し、対角密度行列を用いて、量子的状態（固定ℏ、大N）においてGGEへの熱化が確認できることを示すこと。

提案手法

• 多体系の時間発展を記述するため、位相空間における準確率分布としてのWigner関数W(x, p, t)を用いる。
• 初期状態としてH₀の基底状態を用い、調和型および逆二乗型ポテンシャルに対して、時間に依存するWigner関数および関連する相関カーネルの正確な解を求める。
• 長時間相関関数を計算し、GGEの予測と比較するために、対角密度行列（時間平均化された密度行列）を適用する。
• 大N極限におけるフェルミ面近傍で有効な、AiryおよびBessel関数を用いた普遍的スケーリング形を導出する。
• フェルミ面の時間に依存する幅を解析的に計算し、非調和型トラップに対しても非自明な時間発展が生じることを示す。
• ランダム行列理論（RMT）との関連および行列式点過程を用い、相関関数をカーネル（正弦、Airy、Bessel）の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相互作用フェルミ粒子において、平衡状態で観測される普遍的エッジ挙動（AiryまたはBesselカーネル）が、非平衡状態における時間発展でも継続するか？
• RQ2 量子クイルチングに続くフェルミ面の位相空間における時間発展は、その形状および幅の点でどのように変化するか？
• RQ3 対角密度行列が長時間相関を記述する役割を果たす場合、GGEの予測と比較してどのような特徴を示すか？
• RQ4 エッジ近傍の多時間相関関数は、普遍的スケーリング形として表現可能か？その時間依存性は何か？
• RQ5 量子的状態（固定ℏ、大N）において、長時間極限で系がGGEに緩和するか？その確認方法は何か？

主な発見

• 調和型および逆二乗型ポテンシャルにおいて、Wigner関数の時間発展は、時間に依存する幅を持つが、普遍的エッジスケーリング形（AiryまたはBesselカーネル）を維持する。
• フェルミ面近傍では、大N極限においてWigner関数は時間および空間に依存する非自明な幅で発展するが、平衡状態と同一の関数的形を保つ。
• 対角密度行列を用いることで、高次（非局所的）相関関数の正確な表現が得られ、これはGGEの予測と一致するが、密度行列の非対角成分を無視した場合に限る。
• 調和型トラップにおけるエッジ近傍の多時間相関関数に対して、大N極限で有効な明示的な普遍的スケーリング形が導出された。
• 長時間極限において、対角密度行列は、量子的状態（大N、固定ℏ）においてGGEへの緩和を確認し、Wigner関数および相関関数において正確な一致を示した。
• 本研究により、GGEがm点相関（m ≥ 2）に対して対角密度行列とは異なる予測を下すことが判明したが、これは単粒子密度行列の非対角成分が無視可能でない場合に起因する。これは、非平衡量子系における非局所的相関の重要性を強調している。