[論文レビュー] Nonexistence for complete Kähler Einstein metrics on some noncompact manifolds

Peng Gao, Shing‐Tung Yau+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクト・カーラー多様体の2次元以上である部分多様体の補集合、および特異点が正則または端的特異点に収縮する例外的除集合の補集合において、完全なカーラー＝アインシュタイン計量が存在しないことを証明している。この結果はklt対へ拡張され、曲率と特異点の解析に依拠しており、非コンパクトカーラー多様体における正則計量の長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact Kähler manifold and $N$ be a subvariety with codimension greater than or equal to 2. We show that there are no complete Kähler--Einstein metrics on $M-N$. As an application, let $E$ be an exceptional divisor of $M$. Then $M-E$ cannot admit any complete Kähler--Einstein metric if blow-down of $E$ is a complex variety with only canonical or terminal singularities. A similar result is shown for pairs.

研究の動機と目的

• コンパクト・カーラー多様体から2次元以上である部分多様体を除いた非コンパクトカーラー多様体に完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しうるかという未解決問題を解決すること。
• 双有理的写像における例外的除集合の補集合に完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在するかを調査すること。ただし、対象多様体は正則または端的特異点を持つものとする。
• カワマタ・ロッグ・ターミナル（klt）特異点を持つ対 (X,D) の設定へ非存在結果を拡張すること。
• 曲率と特異点の型に基づく幾何的障害を、解析的および代数的幾何学的手法を用いて特定すること。
• 結果を局所対称空間のコンパクト化に応用し、完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在するためには特異境界成分（カスプ）が不可欠であることを示すこと。

提案手法

• ボンネット＝マイヤーズのコンパクト性定理を用いて、非コンパクト多様体上での正のリッチ曲率を持つカーラー＝アインシュタイン計量の非存在を除外する。
• ポアンカレ＝モク＝ヨウ（PMY）型の挙動を示す計量の曲率推定と漸近的解析を適用し、非正のリッチ曲率を持つ完全カーラー＝アインシュタイン計量の非存在を示す。
• 特異点の解消と対数的解消技術を用いて、問題を2次元特異点の特異点集合に還元する。
• 不変量の概念とklt（カワマタ・ロッグ・ターミナル）特異点の定義を用いて、局所的特異点の型を特徴付ける。
• ハートォグの拡張定理とザリスキの大定理を適用し、2次元以上である特異点が正則バンドル構造に影響しないことを保証する。
• klt対は2次元で商特異点を持つ（補題4.3による）ことを利用して、非存在が示された局所モデルへ問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・カーラー多様体から2次元以上である部分多様体を除いた多様体上に完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しうるか？
• RQ2 2次元以上である部分多様体に沿ったコンパクト・カーラー多様体のブ lows-up において、例外的除集合の補集合に完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しうるか？
• RQ3 双有理的写像における例外的除集合の補集合に完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在するための、対象多様体の特異点の条件は何か？
• RQ4 対 (X,D) がklt（カワマタ・ロッグ・ターミナル）条件を満たす場合、例外的除集合の補集合に完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しうるか？
• RQ5 Satakeコンパクト化の特異化による開多様体に対して、非存在結果を拡張できるか？

主な発見

• M がコンパクト・カーラー多様体で、N がその部分多様体（codimension ≥2）であるとき、M - N には完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しない。
• f: M → X が双有理的写像で、X が正則または端的特異点のみを持つものとし、X の特異点集合のcodimensionが2であるとき、M - E には完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しない。
• A-D-E 特異点に収縮する例外的除集合 E を持つ複素曲面 M に対して、M - E には完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しない。
• 非存在結果はklt対へ拡張される：(X, D) がkltであれば、M - E には完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在しない。ここで E は解消における例外的除集合である。
• この結果は、Satakeコンパクト化において境界成分が特異的（カスプ的）でなければならないことを示唆する。そうでなければ、境界の補集合上で完全カーラー＝アインシュタイン計量が存在することになり、非存在定理に反する。
• 曲率条件 −ρ Id → Ric → 0（ρ ≠ 0）は、codimension ≥2 の部分多様体 N を除いた M - N 上での完全カーラー＝アインシュタイン計量の存在と両立しない。