[論文レビュー] Nonexistence of a non-trivial global weak solution for the nonlinear Schr\"{0}dinger equation with a nongauge invariant power nonlinearity

Masahiro Ikeda, Yuta Wakasugi|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ゲージ不変でないべき非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式に対して、非自明なグローバル弱解が存在しないことを、初期データがどれほど小さくても証明する。エネルギー推定と爆発的挙動の議論を弱解の枠組みで用いることで、適切な初期データを有する初期値問題の解は有限時間内で爆発する必要があることが示され、したがって小規模な初期データにおけるグローバル存在は排除される。

ABSTRACT

We study the initial value problem for the nonlinear Schrodinger equation with a critical or subcritical nongauge invariant nonlinearity: (NLS) { i∂tu+ 1 2 ∆u = λ |u| , u (0, x) = ef (x) , where n ∈ N, 1 0, (t, x) ∈ [0, T ) × R, u = u (t, x) ∈ is a complex-valued unknown function of (t, x) , λ ∈ C {0} , f = f (x) ∈ is a given complex-valued function and e > 0 is a positive parameter. In this paper, we will prove nonexistence of a non-trivial global weak solution for the equation (NLS) with some initial data but without any size and coefficient restrictions, which implies that “small data global existence” does not hold for (NLS). Furthermore, we will also prove the L-norm of a time local L-solution with a suitable initial data blows up at a finite time.

研究の動機と目的

• ゲージ不変でないべき非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式に対する弱解のグローバル存在を調査すること。
• 小規模な初期データがグローバル解をもたらすかどうかを特定し、古典的な小規模初期データにおけるグローバル存在の枠組みに挑戦すること。
• 適切な初期データ条件の下で局所解の L^p-ノルムの爆発を確立すること。
• 初期データのサイズや係数に制限がない状況でも、非自明なグローバル弱解が存在しないことを証明すること。

提案手法

• ゲージ不変でないべき非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式の初期値問題の分析。
• 長期間の挙動を調べるためのエネルギー推定と弱解の枠組みの使用。
• 非線形性の構造と初期データの正則性に基づく爆発的議論の適用。
• 解の成長を制御し、有限時間爆発を検出するための事前推定の導出。
• グローバル解の仮定から矛盾を導くために、適切なテスト関数と双対性の議論を弱形式に適用。
• 非線形性の臨界的または亜臨界的性質を活用し、鋭い非存在結果を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ不変でないべき非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式は、初期データがどれほど小さくても非自明なグローバル弱解を許容するか？
• RQ2 ゲージ不変性の欠如にもかかわらず、この種の非線形性に対して小規模初期データにおけるグローバル存在を確立できるか？
• RQ3 どのような条件下で、この方程式の局所解の L^p-ノルムが有限時間内で爆発するか？
• RQ4 非線形性と初期データの構造に起因する、グローバル存在に対する普遍的な障害は存在するか？
• RQ5 ゲージ不変性の欠如が、解の爆発挙動に果たす役割は何か？

主な発見

• 初期データのサイズに関係なく、ゲージ不変でないべき非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式に対して、非自明なグローバル弱解は存在しない。
• 適切な初期データを有する時間局所的 L^p-解の L^p-ノルムは有限時間内で爆発し、有限時間内に特異点が形成されることを示唆する。
• この方程式に対しては、初期データのノルムがどれほど小さくても、小規模初期データにおけるグローバル存在は成立しない。
• 初期データの係数やサイズに制限がない状況でも、非存在結果は成り立つ。
• 爆発は非線形性の構造とゲージ不変性の欠如に起因し、これがグローバル解の存在を不可能にする。