[論文レビュー] Nonexistence of a realistic model for the two dimensional Hilbert space

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2003

Quantum Mechanics and Applications被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ベルの確率的枠組みに挑戦し、彼のモデルが2次元ヒルベルト空間でさえも、古典的ベイズの公式を用いて条件付き確率を一貫して定義できないことを示している。著者らは、コルモゴロフ確率モデルにおける条件付き確率のための、Wignerの不等式の新しい類似形を証明することで、古典的および量子的予測が、複合系でない系に対しても一致しないことを示しており、この設定では一貫した古典的確率的モデルが量子行動を再現できないことを示している。

ABSTRACT

We perform the analysis of probabilistic assumptions of Bell's approach. We emphasize that J. Bell wrote about probability without to specify the concrete axiomatics of probability theory. The careful analysis demonstrated that (surprisingly) J. Bell did not apply the classical probability model (Kolmogorov) to describe ``classical physical framework.'' In fact, he created his own probabilistic model and compared it with the quantum one. The crucial point is that J. Bell did not pay attention to {\it conditional probabilities.} We show that conditional probability in his model cannot be defined by classical Bayes' formula. We also use the approach based on Bell-type inequalities in the conventional probabilistic approach, Kolmogorov model. We prove an analog of Wigner's inequality for conditional probabilities and by using this inequality show that predictions of the conventional and quantum probability models disagree already in the case of noncomposite systems (even in the two dimensional case).

研究の動機と目的

• 量子力学におけるベルの確率的枠組みの基礎的仮定を調査すること。
• ベルの枠組みが、古典的ベイズの公式を用いて条件付き確率を一貫して取り扱えないことの特定。
• 非複合系である2次元系に対しても、古典的および量子的予測の不一致が生じることの証明。
• コルモゴロフ確率モデルに基づく条件付き確率のための新しい不等式の確立。

提案手法

• コルモゴロフの公理的確率論に明示的言及をしない状態で、ベルの確率的仮定の分析。
• ベルが、古典的コルモゴロフ枠組みではなく、自らの確率的モデルを暗黙的に構築していたことの特定。
• 従来のコルモゴロフ確率モデルを適用し、条件付き確率のためのWignerの不等式の新しい類似形を導出。
• この不等式を用いて、2次元ヒルベルト空間における古典的および量子確率モデルの予測を比較。
• もつれや複合系が存在しない状況でも、古典モデルが量子予測を再現できないことを示す。
• 特にベイズの公式の適用に失敗するという、ベルモデルにおける条件付き確率定義の不一致に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルの確率的モデルは、古典的ベイズの公式を用いて条件付き確率を一貫して定義できるか？
• RQ2 非複合系の2次元量子系においても、古典的および量子的予測の不一致は持続するか？
• RQ3 コルモゴロフモデルに、低次元ヒルベルト空間における古典的条件付き確率と量子予測の不適合性を捉える形式的不等式が存在するか？
• RQ4 条件付き確率を適切に取り入れた場合、古典的確率的モデルは2次元ヒルベルト空間における量子行動を再現できるか？
• RQ5 コルモゴロフ確率モデルは、条件付き確率におけるベル枠組みの限界をどのように露呈するか？

主な発見

• ベルのモデルは、確率的概念への暗黙の依存があるものの、古典的コルモゴロフ確率枠組みを用いていない。
• ベルのモデルにおける条件付き確率は、古典的ベイズの公式を用いて一貫して定義できない。
• 条件付き確率のための、コルモゴロフモデル内でのWignerの不等式の新しい類似形が導出された。
• 古典的および量子的確率モデルの予測は、2次元非複合系でさえも一致しない。
• 古典モデルが量子予測を再現できないのは、もつれではなく、条件付き確率構造のレベルでの不一致に起因する。
• 分析により、複合状態が存在しない低次元系においても、古典確率と量子力学の根本的不適合性が明らかになった。