[論文レビュー] Nonexistence of cusp cross-section of one-cusped complete complex hyperbolic manifolds II

Yoshinobu Kamishima|ArXiv.org|Mar 31, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非自明なホロノミーをもつ特定の3次元ヘイゼンベルクインフラニル多様体が、任意の完全で有限体積の1個の尖晶を持つ複素双曲的2次元多様体の尖晶断面として現れえないことを証明する。バーンズ＝エプスタインのCR不変量と有界領域の特徴類を用いて、自己交叉形式の非整数性による位相的障害を導出し、複素双曲幾何におけるこのような多様体が尖晶境界として存在し得ないことを矛盾させる。

ABSTRACT

D. D. Long and A. W. Reid have shown that some compact flat 3-manifold cannot be diffeomorphic to a cusp cross-section of any complete finite volume 1-cusped real hyperbolic 4-manifold. This note concerns the complex hyperbolic case. We give a negative answer that there exists a 3-dimensional closed Heisenberg infranilmanifold which cannot be diffeomorphic to a cusp cross-section of any complete finite volume 1-cusped complex hyperbolic 2-manifold.

研究の動機と目的

• 完全で有限体積の1個の尖晶を持つ複素双曲的2次元多様体の尖晶断面として、任意の3次元ヘイゼンベルクインフラニル多様体が実現可能かどうかを特定すること。
• ロングとリードによる平坦3次元多様体に関する結果を、非自明なホロノミーをもつヘイゼンベルクインフラニル多様体を対象として、複素双曲的設定へと拡張すること。
• 特にバーンズ＝エプスタイン不変量と第一チャーン類の平方といったCR不変量と特徴数を用いて、位相的障害を確立すること。
• ニューマンとリードが同定した有理数オイラー特徴数条件が、一部のインフラニル多様体に対しては不十分であることを示し、より強い障害が存在することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、厳密に擬凸なCR多様体に作用するバーンズ＝エプスタインのCR不変量を用い、複素双曲幾何における有界領域の特徴数を含む式を導出する。
• 複素双曲的2軌道体の境界のシーファーファイブレーション構造を分析し、幾何的境界がKähler-双曲的計量をもつ軌道体上の円縛束として特定される。
• この手法では、PU(2,1)内の離散群をSU(2,1)に上げ、境界球面の補集合上の誘導された円縛束構造を分析する。
• 重要なステップは、軌道体の解体のホモロジー内に2次元サイクルyを構成することであり、ℓ ≠ 1のときy·yが整数でないことが示され、c₁²の整数性と矛盾する。
• その根拠は、ℓが最小でかつ(k,ℓ) = 1であるという条件から導かれる、正規化された基本類の自己交叉数の非整数性にある。
• このような多様体が存在すると仮定すると、⟨c₁², [W]⟩が整数でない値をとることになり、これは位相的不変性に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なホロノミーをもつ任意の3次元ヘイゼンベルクインフラニル多様体が、完全で有限体積の1個の尖晶を持つ複素双曲的2次元多様体の尖晶断面として実現可能か？
• RQ2 特定のヘイゼンベルクインフラニル多様体が複素双曲的2次元多様体の尖晶断面として出現しない理由となる、位相的または幾何的障害は何か？
• RQ3 バーンズ＝エプスタイン不変量は、ニューマンとリードが以前に同定した有理数オイラー特徴数条件よりも強い障害を提供するか？
• RQ4 複素双曲的2軌道体の解体における正規化クラスの自己交叉数は常に整数か？ そして、これは可能な尖晶断面をどのように制限するか？

主な発見

• 本稿は、非自明なホロノミーをもつ任意の3次元ヘイゼンベルクインフラニル多様体が、完全で有限体積の1個の尖晶を持つ複素双曲的2次元多様体の微分同相的尖晶断面として実現可能でないことを確立した。
• 障害は、自己交叉数y·y = ±k²/ℓ² + ... が整数でないことに起因し、ℓ ≠ 1のとき、⟨c₁², [W]⟩の整数性と矛盾する。
• ℓの最小性と(k,ℓ) = 1の条件により、k²/ℓ²はℓ = 1でない限り整数でなく、仮にそのような多様体が存在すれば矛盾が生じる。
• この結果は、ロングとリードによる平坦3次元多様体に関する否定的結果を複素双曲的設定へと拡張し、ヘイゼンベルクインフラニル多様体に対しても同様の障害が存在することを示した。
• バーンズ＝エプスタイン不変量と特徴数公式は、特定のインフラニル多様体が尖晶断面として実現できないことを妨げる位相的不変量を提供する。
• 有理数オイラー特徴数条件（1/3-整数）は十分でないことが確認され、c₁²から導かれるより強い障害に違反するインフラニル多様体が存在することが示された。