[論文レビュー] Nonexistence of global solutions of nonlinear wave equations with weak time-dependent damping related to Glassey conjecture

N. Lai, Hiroyuki Takamura|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、散乱（$\beta > 1$）およびスケール不変（$\beta = 1$）の両 regime において、弱い時間に依存する減衰を伴う非線形波動方程式に対して、大域的解の非存在性を確立し、非減衰の場合と同一の寿命上限を示した。これは、Glassey予想の重要な側面を確認するものである。著者らは、減衰項を吸収するための特化した乗数を導入し、非減衰の場合と同一の爆発結果および寿命推定を、弱い減衰下でも得た。

ABSTRACT

This work is devoted to the nonexistence of global-in-time energy solutions of nonlinear wave equation of derivative type with weak time-dependent damping in the scattering and scale invariant range. By introducing some multipliers to absorb the damping term, we succeed in establishing the same upper bound of the lifespan for the scattering damping as the non-damped case, which is a part of so-called Glassey conjecture on nonlinear wave equations. We also study an upper bound of the lifespan for the scale invariant damping with the same method.

研究の動機と目的

• 弱い時間に依存する減衰を伴う非線形波動方程式に対する大域的解の非存在性を調査すること。
• 非線形性の指数 $ p \leq p_c(n) $ における爆発に関するGlassey予想を、減衰がある場合にまで拡張すること。
• 散乱（$\beta > 1$）およびスケール不変（$\beta = 1$）の両減衰 regime におけるエネルギー解の寿命に対する上界を確立すること。
• 減衰項の取り扱いの難しさを、減衰効果を吸収する専用の乗数を導入することで克服すること。

提案手法

• 散乱 case（$\beta > 1$）において、$ \frac{\mu}{(1+t)^\beta} u_t $ の減衰項を吸収するための乗数 $ m(t) $ を導入する。
• スケール不変 case（$\beta = 1$）では、有界でないが効果的な乗数 $ m_1(t) = (1+t)^\mu $ を別個に用いる。
• 部分積分およびテスト関数技法を適用し、解およびその時間微分を含むエネルギー型不等式を導出する。
• Hölderの不等式および非線形項 $ |u_t|^p $ の点ごとの推定を用いて、関数 $ H(t) $ や $ H_1(t) $ に対する微分不等式を導出する。
• 形 $ H'(t) \geq C (1+t)^{-\alpha} H^p(t) $ の微分不等式を確立し、有限時間での爆発を導く。
• 比較論法および初期データの正値性を用いて、寿命 $ T $ の明示的な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い時間に依存する減衰下でも、$ p \leq p_c(n) $ に対してGlassey予想の爆発が成立するか？
• RQ2 減衰が存在する場合でも、非減衰の場合と同一の寿命上界を達成できるか？
• RQ3 $ \beta = 1 $ もしくは $ \beta > 1 $ の非線形波動方程式の解析において、乗数の選択はどのように影響を与えるか？
• RQ4 乗数技法を用いて、減衰項を効果的に吸収し、非減衰の場合と同様の爆発結果を回復できるか？

主な発見

• 散乱 case（$ \beta > 1 $）では、$ 1 < p < p_c(n) $ に対して、寿命 $ T $ が $ T \leq C \varepsilon^{-(p-1)/(1 - (n-1)(p-1)/2)} $ を満たし、非減衰の場合と同一の結果を得た。
• $ p = p_c(n) $ かつ $ n \geq 2 $ の場合、寿命は $ T \leq \exp(C \varepsilon^{-(p-1)}) $ を満たし、再び非減衰結果と一致した。
• スケール不変 case（$ \beta = 1 $）では、寿命上界が減衰パラメータ $ \mu $ に依存し、$ H_1'(t) \geq C (1+t)^{-(n+2\mu-1)(p-1)/2} H_1^p(t) $ という不等式が得られ、修正された寿命推定が導かれた。
• 乗数 $ m_1(t) = (1+t)^\mu $ の使用により、乗数が有界でない場合でも爆発結果を導出できた。
• 弱い時間に依存する減衰が、$ p \leq p_c(n) $ に対して爆発を防がないことが確認され、減衰付き設定下でのGlassey予想を支持する結果となった。
• 寿命の上界は非減衰の場合と同一であり、弱い減衰が大域的解の存在を延長しないことを示した。