[論文レビュー] Nonexistence of solutions for Dirichlet problems with supercritical growth in tubular domains

Riccardo Molle, Donato Passaseo|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpact部分多様体の周りのチューブ型領域における、臨界を超える非線形性を有する半線形楕円型Dirichlet問題に対して、非自明解の非存在性を確立する。Pohozaev型の積分恒等式を、幾何的構造に適合した適切に構成されたベクトル場を用いて導出し、$ k=1 $、$ \Gamma_1 $ が可縮であり、$ \varepsilon $ が十分に小さいとき、$ p > \frac{2n}{n-2} $ において非自明解は存在しないことを証明する。

ABSTRACT

We deal with Dirichlet problems of the form $$ \\Delta u+f(u)=0 \\mbox{ in }\\Omega,\\qquad u=0\\ \\mbox{ on }\\partial \\Omega $$ where $\\Omega$ is a bounded domain of $\\mathbb{R}^n$, $n\\ge 3$, and $f$ has supercritical growth from the viewpoint of Sobolev embedding. In particular, we consider the case where $\\Omega$ is a tubular domain $T_\\varepsilon(\\Gamma_k)$ with thickness $\\varepsilon>0$ and centre $\\Gamma_k$, a $k$-dimensional, smooth, compact submanifold of $\\mathbb{R}^n$. Our main result concerns the case where $k=1$ and $\\Gamma_k$ is contractible in itself. In this case we prove that the problem does not have nontrivial solutions for $\\varepsilon>0$ small enough. When $k\\ge 2$ or $\\Gamma_k$ is noncontractible in itself we obtain weaker nonexistence results. Some examples show that all these results are sharp for what concerns the assumptions on $k$ and $f$.

研究の動機と目的

• チューブ型領域における臨界を超える成長を示す半線形楕円型方程式の非自明解の存在または非存在を調査すること。
• 星型領域に対して成立する古典的Pohozaevの非存在結果が、非星型で可縮なチューブ型領域へと拡張可能かどうかを特定すること。
• 中心部分多様体 $ \Gamma_k $ の位相的性質と次元が、臨界を超える非線形性を有するDirichlet問題の可解性に与える影響を分析すること。
• 成長指数 $ p $ および領域の厚さ $ \varepsilon $ の臨界閾値を特定することで、鋭い非存在結果を確立すること。

提案手法

• チューブ型領域 $ T_\varepsilon(\Gamma_k) $ の幾何的構造に適合したベクトル場 $ v_k $ を用いて、Pohozaev型の積分恒等式を導出する。ここで $ \Gamma_k $ は $ k $ 次元のコンパクト部分多様体である。
• $ \Gamma_k $ 上で発散および方向微分が制御されるようにベクトル場 $ v_k $ を構成し、$ \varepsilon \to 0 $ の漸近的挙動を考慮する。
• 方程式 $ \Delta u + f(u) = 0 $ に積分恒等式を適用し、$ f(u) = |u|^{p-2}u $ とすることで、$ \int |Du|^2 dx $ を含む不等式を導出する。
• 発散 $ \mathop{\rm div}\nolimits v_k $ が $ n-k $ に、$ dv_k[\eta]\cdot\eta $ が $ 1 $ に $ \varepsilon \to 0 $ の下で漸近収束することを用いて、強制的不等式を導出する。
• 係数 $ 1 - \frac{n-k}{2} + \frac{n-k}{p} + \mu_k(\varepsilon) $ の符号を分析し、$ p > \frac{2(n-k)}{n-k-2} $ および $ n > k+2 $ のとき負になることを示し、これにより $ u \equiv 0 $ が導かれる。
• 容量およびホモロジー群の議論を用いて、特に $ k \geq 2 $ および非可縮な $ \Gamma_k $ の場合に結果の鋭さを説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界を超える非線形性に対して、Pohozaevの非存在結果は非星型で可縮なチューブ型領域へと拡張可能か？
• RQ2 中心部分多様体 $ \Gamma_k $ の位相（例えば可縮性）および次元 $ k $ は、Dirichlet問題の可解性にどのような役割を果たすか？
• RQ3 非存在結果は、成長指数 $ p $ およびチューブ型領域の厚さ $ \varepsilon $ の観点で鋭いか？
• RQ4 なぜ $ k=1 $ で $ \Gamma_1 $ が非可縮の場合、あるいは $ k>1 $ であっても可縮な $ \Gamma_k $ に対して、同じ臨界を超える指数では非存在結果が成り立たないのか？
• RQ5 $ n=2 $ における $ q $-ラプラシアン方程式に対して、同様の非存在結果が得られるか？ここで、臨界を超える挙動は $ n=2 $ でも現れる。

主な発見

• $ k=1 $、$ \Gamma_1 $ を $ \mathbb{R}^n $ 内のコンパクトで滑らかで可縮な曲線とし、$ n \geq 3 $ とする。このとき、$ p > \frac{2n}{n-2} $ ならば、ある $ \bar{\varepsilon} > 0 $ が存在し、すべての $ \varepsilon \in (0, \bar{\varepsilon}) $ に対してDirichlet問題は自明解のみをもつ。
• $ k \geq 2 $ または $ \Gamma_k $ が非可縮の場合、$ p > \frac{2n}{n-2} $ に対してはこの手法は失敗するが、$ n \geq 4 $ および $ p > \frac{2(n-1)}{n-3} $ の下で弱い非存在結果が成立する。
• $ k \geq 2 $ の場合、$ n > k+2 $ および $ p > \frac{2(n-k)}{n-k-2} $ の下で非存在結果が成立し、存在例によってこの閾値が鋭いことが示される。
• $ k=1 $、$ \Gamma_1 $ が可縮の場合の非存在結果は鋭い：$ k=1 $、$ \Gamma_1 $ が非可縮（例えば円）の場合、$ n \geq 4 $ で $ p \in (1, \frac{2(n-1)}{n-3}) $ の範囲に解が存在する反例が存在する。
• $ k \geq 2 $ の場合、$ p \geq \frac{2n}{n-2} $ に対して解の存在および多重性が示され、$ k>1 $ の非存在結果が同じ $ p $-閾値で拡張できないことが示される。
• $ \mathbb{R}^2 $ において、ラプラシアンを $ q $-ラプラシアン（$ 1<q<2 $）に置き換えることで、すべての可縮領域に対して $ p \geq \frac{2q}{2-q} $ の下で非存在が成立することが示され、$ n \geq 3 $ の $ p $-ラプラシアンの場合よりも広い拡張が可能であることが示唆される。