[論文レビュー] Nonexistence results for a class of fractional elliptic boundary value problems

Mouhamed Moustapha Fall, Tobias Weth|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、星型または非有界領域における分数ラプラシアン $(-\Delta)^s$ を含む分数的楕円型境界値問題に対して、正の解が存在しないことを示す。Caffarelli-Silvestre の拡張と洗練された移動球面法を用いて、スケーリング不変な意味で超臨界な非線形性を有する場合、正の解は存在しないことを証明する。これは、境界正則性の問題により標準的な恒等式が成立しない非局所的分数的設定において、古典的な Pohozaev 型の非存在結果を拡張したものである。

ABSTRACT

In this paper we study a class of fractional elliptic problems of the form $$ \Ds u= f(x,u) \quad extrm{in} Øu=0\quad extrm{in} \R^N \setminus Ø,$$ where $s\in(0,1)$. We prove nonexistence of positive solutions when $Ø$ is star-shaped and $f$ is supercritical. We also derive a nonexistence result for subcritical $f$ in some unbounded domains. The argument relies on the method of moving spheres applied to a reformulated problem using the Caffarelli-Silvestre extension \cite{CSilv} of a solution of the above problem. The standard approach in the case $s=1$ using Pohozaev type identities does not carry over to the case $0

研究の動機と目的

• 星型領域における超臨界非線形性を有する分数的楕円型問題に対して、正の解が存在しないことを確立すること。
• 境界正則性の欠如により標準的な積分恒等式が成立しない $0 < s < 1$ の非局所的分数的設定において、古典的な非存在結果（例：Pohozaev）を拡張すること。
• スケーリングおよび対称性の手法を用いて、非有界領域における原点付近および無限遠における解の挙動を分析すること。
• 非線形性 $f(x,u)$ におけるスケーリング条件に基づく、非存在性の一般枠組みを提供すること。これは既知のべき乗型非線形性に対する結果を一般化する。

提案手法

• 分数的問題を1次元高い次元における局所的境界値問題に変換するために、Caffarelli-Silvestre の拡張を用いる。
• 拡張された問題に対して移動球面法を適用し、対称性と最大原理の議論を活用する。
• 拡張空間における洗練された移動球面法を実装し、解とそのケルビン変換との間の点ごとの不等式を導出する。
• スケーリング条件 $\lambda \mapsto \lambda^{-(N+2s)/(N-2s)}f(\lambda^{-2/(N-2s)}x, \lambda u)$ が $\lambda \geq 1$ で非減少であることを、超臨界性の主要基準とする。
• Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式および Hölder 不等式を用いて可積分性を制御し、解が $\mathcal{D}^{s,2}(\Omega) \subset L^{2N/(N-2s)}(\mathbb{R}^N)$ に属することを保証する。
• Fubini の定理および半径に関する推定を用いて、下界 $w(r\sigma_0) \gtrsim r^{(2s-N)/2}$ を導出し、可積分性と矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性 $f(x,u)$ がどのような条件下で、$\Omega$ における分数的楕円型問題 $(-\Delta)^s u = f(x,u)$ が正の解をもたないか？
• RQ2 境界正則性の悪さにより Pohozaev 恒等式が成立しない非局所的問題 $0 < s < 1$ において、移動球面法をどのように適合させることができるか？
• RQ3 原点に関する星型性（境界上を含む）が、分数的問題における非存在性の証明に果たす役割は何か？
• RQ4 非線形性 $f$ のスケーリング特性が、非有界領域における解の存在・非存在にどのように影響するか？
• RQ5 共形変換と Caffarelli-Silvestre の拡張を用いて、無限遠点における星型性を有する非有界領域に対しても非存在結果を拡張できるか？

主な発見

• 非有界で原点に関する星型領域において、非線形性 $f$ が超臨界スケーリング条件 (1.6) を満たす限り、正の解は存在しない。原点が境界上にあっても同様に成り立つ。
• 非有界領域で無限遠点における星型性を満たす特定の部分域において、劣臨界非線形性に対しても非存在結果が成り立つ。これは、有界領域に限らない範囲への拡張を示している。
• 証明は、Caffarelli-Silvestre の拡張を用いて非局所問題を $\mathbb{R}^{N+1}_+$ における局所問題に変換することで成立し、移動球面法の適用が可能になる。
• 任意の正の解が原点付近で $w(r\sigma_0) \gtrsim r^{(2s-N)/2}$ を満たすことを示すことで矛盾を導出し、$\int_0^{r_0} w^{2N/(N-2s)}(r\sigma_0) dr = \infty$ となる。これは $L^{2N/(N-2s)}$ 可積分性と矛盾する。
• べき乗型非線形性 $f(x,u) = |x|^{-\sigma}u^p$ や $f(x,u) = u^p - V(x)u$ に対しても一般化可能であり、$p \geq \frac{N+2s-2\sigma}{N-2s}$ または $V(x)$ に対して適切な減衰・成長条件が成立する場合、非存在が成立する。
• 系により、$f(x,u) = u^p - \gamma |x|^{-2s}u$ に対して $p \geq \frac{N+2s}{N-2s}$ のとき、および $f(x,u) = |x|^{-\sigma}u^p$ に対して $p \geq \frac{N+2s-2\sigma}{N-2s}$ のとき、適切な仮定の下で非存在が確認される。