[論文レビュー] Nonexpansive iterations in uniformly convex $W$-hyperbolic spaces

Laurenţiu Leuştean|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 18被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、一様凸なバナッハ空間および $CAT(0)$-空間を一般化する、単調な一様凸性モジュラスを備えた一様凸 $W$-超曲面（$UCW$-超曲面）を導入し、証明のマイニング技術を用いて、この設定下での非拡張写像のイシカワ反復の漸近的正則性に対する有効な収束速度を確立する。主な貢献は、ノルムの場合ですら、反復列のパラメータおよび集合の直径に加え、一様凸性モジュラスにのみ依存する、初めての有効的かつ一様な収束速度の特定である。

ABSTRACT

We propose the class of uniformly convex $W$-hyperbolic spaces with monotone modulus of uniform convexity ($UCW$-hyperbolic spaces for short) as an appropriate setting for the study of nonexpansive iterations. $UCW$-hyperbolic spaces are a natural generalization both of uniformly convex normed spaces and CAT(0)-spaces. Furthermore, we apply proof mining techniques to get effective rates of asymptotic regularity for Ishikawa iterations of nonexpansive self-mappings of closed convex subsets in $UCW$-hyperbolic spaces. These effective results are new even for uniformly convex Banach spaces.

研究の動機と目的

• 非拡張反復の研究のための統一的枠組みとして $UCW$-超曲面を提案し、一様凸バナッハ空間および $CAT(0)$-空間を一般化すること。
• 完備な $UCW$-超曲面における非拡張写像のための、一意な漸近的中心および不動点の存在を確立すること。
• 証明のマイニング技術を用いて、$UCW$-超曲面におけるイシカワ反復のための有効的かつ一様な漸近的正則性の収束速度を抽出すること。
• 非拡張写像や初期点に依存しないが、一様凸性モジュラス、集合の直径、反復パラメータにのみ依存する定量的収束速度を提供すること。

提案手法

• 一様凸性モジュラスが単調である完全な $W$-超曲面として $UCW$-超曲面を定義し、チェビシェフ集合や有界閉凸集合の減少列の空でない共通部分集合といった強い幾何的性質を保証する。
• 漸近的中心の技法を用いて、反復列の有界性によって不動点の存在を特徴付ける。
• 非構成的証明を有効な計算可能な収束速度に変換するため、証明のマイニングを用いてイシカワ反復列 $d(x_n, Tx_n) \to 0$ の収束速度を抽出する。
• クレアノセルスキー＝マンおよびハルペルン反復に関する先行研究の手法を組み合わせ、漸近的正則性の定量的レートを導出する。
• 誤差 $\varepsilon$、モジュラス $\eta$、直径 $d_C$、反復パラメータに依存する、$d(x_n, Tx_n) < \varepsilon$ を満たすすべての $n \geq \Phi$ を保証する明示的境界 $\Phi(\varepsilon, \eta, d_C, \theta, L, N_0, \gamma)$ を導出する。
• 定数 $\lambda_n = \lambda \in (0,1)$ および可 summable な $s_n$ の場合に、$\varepsilon$、$d_C$、$\lambda$、および $\sum s_n$ のコーシー・モジュラスに依存する閉形式の式にレートを簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された幾何的設定下で、非拡張写像のイシカワ反復の漸近的正則性は、有効的かつ一様な速度で定量化可能か？
• RQ2 $UCW$-超曲面における非拡張写像の不動点の存在は、反復列の有界性に対応するか。そして、その関係は定量的に特徴付けられるか？
• RQ3 証明のマイニング技術は、一様凸バナッハ空間の場合ですら、$UCW$-超曲面におけるイシカワ反復の計算可能な収束速度を抽出可能か？
• RQ4 有効な漸近的正則性の速度は、空間の幾何構造、一様凸性モジュラス、反復パラメータにどのように依存するか？
• RQ5 集合 $C$ が有界である場合、非拡張写像 $T$ や初期点 $x$ に依存しない収束速度が得られるか？

主な発見

• 本稿は、完備な $UCW$-超曲面が有界列に対して一意な漸近的中心を備えることを確立し、一様凸バナッハ空間の重要な性質を一般化する。
• 非拡張写像の不動点の存在に関する、$UCW$-超曲面における新しい特徴付けが与えられ、ブローダー＝ゴーディ＝キルクの定理を拡張する。
• $UCW$-超曲面におけるイシカワ反復のための有効的漸近的正則性の速度が導出され、一様凸バナッハ空間に対しても初めての結果である。
• 有界な $C$ の場合、レート $\Phi(\varepsilon, \eta, d_C, \theta, L, N_0, \gamma)$ は $T$ および $x$ に関して一様であり、$\varepsilon$、$d_C$、$\eta$、および反復パラメータにのみ依存する。
• 定数 $\lambda_n = \lambda$ の場合、レートは $\Phi(\varepsilon, \eta, d_C, \lambda, L, N_0, \delta)$ に簡略化され、$\varepsilon$、$d_C$、$\lambda$、および $\sum s_n$ のコーシー・モジュラス $\delta$ に明示的に依存する閉形式の式が与えられる。
• $CAT(0)$-空間の場合、レートは $\Phi(\varepsilon, d_C, \lambda, L, N_0, \delta) = \left\lceil \frac{D}{\varepsilon^2} \right\rceil + M$（$\varepsilon \leq 4Ld_C$）として与えられ、$D = \frac{16L^2d_C(d_C+1)}{\lambda(1-\lambda)}$ であり、$\varepsilon^{-2}$ の2次依存性を示す。