[論文レビュー] Nonextensive statistical mechanics - Applications to nuclear and high energy physics

Constantino Tsallis, Ernesto P. Borges|Jan 27, 2003

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ボルツマン＝ギブズ統計の遍歴仮説に違反する核物理学および高エネルギー物理学現象を記述する枠組みとして、ツァリスエントロピー $ S_q = k(1 - \sum p_i^q)/(q-1) $ に基づく非拡張的統計力学を提案する。この形式では、長距離力や記憶効果を持つ系に特徴的なべき乗則分布および緩和行動が自然に出現し、電子・陽電子対消滅、重イオン衝突、宇宙線フラックス、クォーク・ gluon プラズマのダイナミクスをうまくモデル化できる。

ABSTRACT

A variety of phenomena in nuclear and high energy physics seemingly do not satisfy the basic hypothesis for possible stationary states to be of the type covered by Boltzmann-Gibbs (BG) statistical mechanics. More specifically, the system appears to relax, along time, on macroscopic states which violate the ergodic assumption. Some of these phenomena appear to follow, instead, the prescriptions of nonextensive statistical mechanics. In the same manner that the BG formalism is based on the entropy $S_{BG}=-k \sum_i p_i \ln p_i$, the nonextensive one is based on the form $S_q=k(1-\sum_ip_i^q)/(q-1)$ (with $S_1=S_{BG}$). Typically, the systems following the rules derived from the former exhibit an {\it exponential} relaxation with time toward a stationary state characterized by an {\it exponential} dependence on the energy ({\it thermal equilibrium}), whereas those following the rules derived from the latter are characterized by (asymptotic) {\it power-laws} (both the typical time dependences, and the energy distribution at the stationary state). A brief review of this theory is given here, as well as of some of its applications, such as electron-positron annihilation producing hadronic jets, collisions involving heavy nuclei, the solar neutrino problem, anomalous diffusion of a quark in a quark-gluon plasma, and flux of cosmic rays on Earth. In addition to these points, very recent developments generalizing nonextensive statistical mechanics itself are mentioned.

研究の動機と目的

• 複雑な核物理学および高エネルギー系において、ボルツマン＝ギブズ（BG）統計力学の遍歴仮説に違反する定常状態を記述する際の限界を克服すること。
• ツァリスエントロピー $ S_q $ を基礎とする非拡張的統計力学を、べき乗則緩和および分布を示す系の物理的根拠に基づく代替理論として確立すること。
• $ S_q $-に基づく形式が、宇宙線フラックス、重イオン衝突、クォーク・グルーオンプラズマのダイナミクスなど、多様な現象に適用可能であることを示すこと。
• $ q $-パラメータを微視的ダイナミクスの観点から物理的根拠づけ、情報的エントロピーとは明確に区別すること。
• 非拡張的統計の一般化を検討し、異なる $ q $-値間のクロスオーバー分布およびスーパーバイエスタティスティクスとの関連を明らかにすること。

提案手法

• 非遍歴的・非拡張的系を記述するため、基本的エントロピー形式としてツァリスエントロピー $ S_q = k(1 - \sum p_i^q)/(q-1) $ を採用し、$ S_1 = S_{BG} $ とすることで、BG統計に一致することを保証する。
• $ S_q $ から導かれる $ q $-指数関数および $ q $-ガウス分布を用い、定常状態のエネルギー分布および緩和関数をモデル化する。
• クォーク・グルーオンプラズマや宇宙線など、長距離相互作用や記憶効果を持つ系に対して、観測されたべき乗則行動に一致するように $ q $-パラメータをフィッティングする。
• 低エネルギー域では $ q $-べき乗則、高エネルギー域では $ q' < q $ の別の $ q $-べき乗則を用いたクロスオーバー分布を導入し、宇宙線フラックスをモデル化する。
• 最近導入されたエントロピー形式を用いて形式を一般化し、ベック＝コーエンのスーパーバイエスタティスティクスが記述するような準平衡状態を扱えるようにする。
• 凹型性と安定性を要請することで、リーマンや Sharma-Mittal のような非物理的で情報理論的エントロピーとは異なり、$ S_{BG} $ の物理的一般化としての有効性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非拡張的統計力学は、ボルツマン＝ギブズ統計の遍歴仮説を満たさない核物理学および高エネルギー物理学の定常状態を記述できるか？
• RQ2 クォーク・グルーオンプラズマや宇宙線源のような系の微視的ダイナミクスと、$ S_q $ の $ q $-パラメータはどのように関係するか？
• RQ3 $ q $-指数関数および $ q $-ガウス分布は、電子・陽電子対消滅および宇宙線で観測されるべき乗則エネルギースペクトルをどの程度説明できるか？
• RQ4 $ q $ と $ q' $ の2つの統計の間のクロスオーバーは、宇宙線のエネルギー依存スペクトル行動を正確にモデル化できるか？
• RQ5 統計力学の文脈において、物理的エントロピーと純粋な情報的エントロピー（例：Renyi や Sharma-Mittal）を区別する物理的基準は何か？

主な発見

• ツァリスエントロピー $ S_q $ は、長距離力や記憶効果を持つ系をうまく記述でき、BG統計の指数関数的形ではなく、べき乗則分布および緩和関数を自然に導く。
• 宇宙線フラックスは、低エネルギー域で $ q $-べき乗則、高エネルギー域で $ q' $-べき乗則（$ q' < q $）の2領域に分けた分布でよく記述され、観測データと一致する。
• 平均宇宙線エネルギーは $ \langle E \rangle \simeq 2.48944 \times 10^9 \, \text{eV} $ であり、エネルギーゆらぎは $ \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 \simeq 6.29 \times 10^{21} \, \text{(eV)}^2 $ と推定され、非拡張的予測と整合的である。
• 形式は、クォークがクォーク・グルーオンプラズマ内で非マルコフ的ダイナミクスを示す $ q $-ガウス速度分布を通じて、異常拡散を説明できる。
• 重イオン衝突および電子・陽電子対消滅では、$ S_q $-に基づくモデルがBG予測とは異なるべき乗則的運動量スペクトルを示し、実験的観測と一致する。
• 本稿では、物理的エントロピーとして有効であるための物理的基準として、凹型性と安定性を特定し、リーマンや Sharma-Mittal のような非凹型または不安定な情報的エントロピーは、$ S_{BG} $ の物理的一般化とは見なすべきでないと結論づけた。