[論文レビュー] Nonholonomic Ricci Flows: I. Riemann Metrics and Lagrange-Finsler Geometry

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非可積分分布構造および非線形接続構造を備えたリーマン多様体上の非ホロノミー的リッチフローを導入し、リーマン幾何、ラグランジュ＝フィンスラー幾何、および重力モデルを統一する。非ホロノミー的制約下でのリッチフローがフィンスラー的計量を生成できること、および正則ラグランジュ系がN-非可換リーマン＝カルタン空間上のアインシュタイン方程式の正確解として幾何的にモデル化できることを確立する。

ABSTRACT

In this paper, it is elaborated the theory the Ricci flows for manifolds enabled with nonintegrable (nonholonomic) distributions defining nonlinear connection structures. Such manifolds provide a unified geometric arena for nonholonomic Riemannian spaces, Lagrange mechanics, Finsler geometry, and various models of gravity (the Einstein theory and string, or gauge, generalizations). We follow the method of nonholonomic frames with associated nonlinear connection structure and define certain classes of nonholonomic constraints on Riemann manifolds for which various types of generalized Finsler geometries can be modelled by Ricci flows. We speculate on possible applications of the nonholnomic flows in modern geometry, geometric mechanics and physics.

研究の動機と目的

• 非ホロノミー的構造および非線形接続構造を有する非ホロノミー的多様体上のリッチフローの統一的幾何的枠組みを構築すること。
• ハミルトンのリッチフロー理論を、フィンスラー空間およびラグランジュ空間を含む非リーマン幾何に拡張すること。
• 非ホロノミー的制約がリーマン的リッチフローからフィンスラー的計量を誘導できることを示すこと。
• 正則ラグランジュ的およびフィンスラー的幾何が、N-非可換空間上のアインシュタイン方程式の正確解として実現可能であることを示すこと。
• リッチフローが重力および幾何的力学における非ホロノミー的幾何的構造とどのように整合するかを調査すること。

提案手法

• 一般化されたフィンスラーおよびラグランジュ幾何をリーマン多様体上にモデル化するため、非ホロノミー的フレームおよび非線形接続（N-接続）構造を用いる。
• 非ホロノミー的分布に適合した移動フレーム法を適用し、N-適応基底におけるd-接続、d-計量、およびd torsionを定義する。
• 基本ラグランジュ関数またはフィンスラー関数からのSasaki型の持ち上げを用いて、標準的d-接続およびd-計量を構成する。
• リーマン計量に非ホロノミー的制約を課すことにより、N-非可換多様体上のリッチフロー方程式を導出する。
• 半スプライン形式を用いて、ラグランジュ系の測地線方程式と非線形接続構造との間の同等性を確立する。
• 適応d-接続を用いたアインシュタイン場の方程式を用い、N-非可換配置が重力理論における正確解をもたらすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体に非ホロノミー的分布を備えたリッチフローは、フィンスラー的計量を生成できるか？
• RQ2 正則ラグランジュ系は、非ホロノミー的空間上でのアインシュタイン方程式の正確解として、どのように幾何的にモデル化できるか？
• RQ3 非線形接続およびd-接続は、リッチフローを非リーマン幾何に一般化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 非ホロノミー的リッチフローが計量、接続、非線形構造の間の整合性を保つのはどのような条件下か？
• RQ5 非ホロノミー的制約は、アインシュタイン理論およびストリング重力における重力的配置の進化にどのように影響するか？

主な発見

• 非可積分分布によって制約された非ホロノミー的リッチフローは、初期データとしてリーマン計量を用いる場合、フィンスラー的計量を誘導できる。
• 正則ラグランジュ力学は、標準的N-接続およびd-接続構造を有する非ホロノミー的リーマン＝カルタン多様体として幾何的に実現可能である。
• 標準的d-接続およびd-計量は、基本ラグランジュ関数によって一意に決定され、力学と重力の幾何的統一を可能にする。
• ラグランジュ関数またはフィンスラー関数から導かれる標準的N-接続、d-計量、d-接続が存在する場合、N-非可換空間上ではアインシュタイン方程式の正確解が存在する。
• 非ホロノミー的配置において $\widehat{\mathbf{D}} \neq \nabla$ であっても、$\mathbf{Ric}(\widehat{\mathbf{D}}) = \mathrm{Ric}(\nabla)$ を満たす場合があり、これによりリーマン＝カルタンの互換性がなくてもアインシュタイン空間が得られる。
• 理論は、Finsler-リッチフローおよび非ホロノミー的重力モデルが、一貫した幾何的および物理的制約から自然に導かれる幾何的枠組みを提供する。