[論文レビュー] Nonholonomic Ricci Flows. IV. Geometric Methods, Exact Solutions and Gravity

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|May 5, 2007

Advanced Differential Geometry Research被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、非ホロノミックなリッチフローを用いて、非一様（非等方的）な宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式の正確な解を構成する2つの幾何学的手法を導入する。最初の手法は、非ホロノミックなフレーム変形を用いて場の運動方程式を可積分な非線形偏微分方程式系に還元する。第二の手法は、キリングベクトル場を伴う源のない解を用い、無限パラメータを持つ解の反復的構成を可能にする。主な貢献は、4次元または5次元時空において無限パラメータと複数の座標に依存する解のクラスを提供することにある。

ABSTRACT

In a number of physically important cases, the nonholonomically (nonintegrable) constrained Ricci flows can be modelled by exact solutions of Einstein equations with nonhomogeneous (anisotropic) cosmological constants. We develop two geometric methods for constructing such solutions: The first approach applies the formalism of nonholonomic frame deformations when the gravitational evolution and field equations transform into systems of nonlinear partial differential equations which can be integrated in general form. The second approach develops a general scheme when one (two) parameter families of exact solutions are defined by any source-free solutions of Einstein's equations with one (two) Killing vector field(s). A successive iteration procedure results in a class of solutions characterized by an infinite number of parameters for a non-Abelian group involving arbitrary functions on one variable. We also consider nonlinear superpositions of some mentioned classes of solutions in order to construct more general integral varieties of the Ricci flow and Einstein equations depending on infinite number of parameters and three/ four coordinates on four/ five dimensional (semi) Riemannian spaces.

研究の動機と目的

• 非ホロノミック（可積分でない）制約下でのアインシュタイン方程式の正確な解を構成する幾何学的手法を開発すること。
• 非等方的宇宙定数を用いて、物理的に関連のある状況における非ホロノミックなリッチフローをモデル化すること。
• 1つ以上のキリングベクトル場と無限パラメータ族を組み込むことによって、既知の解を拡張すること。
• 解のクラスの非線形重ね合わせを探索し、リッチフローおよびアインシュタイン方程式のより一般的な積分的多様体を生成すること。
• 1つの変数に関する任意関数を含む4次元および5次元の半リーマン空間における解の枠組みを確立すること。

提案手法

• 非ホロノミックなフレーム変形の形式的枠組みを用いて、重力場方程式を非線形偏微分方程式系に変換する。
• 源のないアインシュタイン解に1つまたは2つのキリングベクトル場を適用し、反復的手続きを用いて解を生成する。
• 非アーベル群と1つの変数の任意関数を含む解を構成し、無限パラメータ族に至らしめる。
• 解のクラスの非線形重ね合わせを用いて、4次元または5次元の半リーマン多様体におけるより一般的な積分的多様体を生成する。
• 非ホロノミックな制約による対称性と可積分性を活用することで、リッチフローおよびアインシュタイン方程式の複雑さを低減する。
• 非ホロノミックな制約下で変換された場の運動方程式を統合することにより、一般形の解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミックなリッチフローは、非等方的宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式の正確な解としてどのようにモデル化できるか？
• RQ2 非ホロノミックな重力的制約から生じる非線形偏微分方程式を統合するための幾何学的枠組みは何か？
• RQ3 キリングベクトル場は、無限パラメータ族の解の構成をどのように促進するか？
• RQ4 解のクラスの非線形重ね合わせは、リッチフローおよびアインシュタイン方程式のより一般的な積分的多様体をどのように生成するか？
• RQ5 非アーベル群構造は、1つの変数に関する任意関数を伴う解を生成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 最初の手法は、非ホロノミックなフレーム変形を用いて、非ホロノミックな制約下でのアインシュタイン方程式を可積分な非線形偏微分方程式系に成功裏に変換した。
• 第二の手法は、1つまたは2つのキリングベクトル場を伴う源のないアインシュタイン解を用い、無限パラメータ族の反復的生成を可能にする解を構成した。
• 解は、無限個のパラメータと3つまたは4つの座標に依存する4次元または5次元の半リーマン空間上に明示的に定義されたものである。
• 解のクラスの非線形重ね合わせにより、より一般的な積分的多様体が得られ、リッチフローおよびアインシュタイン方程式の解の範囲が拡張された。
• この枠組みは、非アーベル群と1つの変数に関する任意関数を含む解を支持し、解空間を豊かにした。
• この手法により、非一様（非等方的）な宇宙定数を伴う正確な解が得られ、重力における物理的に重要な状況に適している。