[論文レビュー] Nonhomogeneous systems involving critical or subcritical nonlinearities

Mousomi Bhakta, Souptik Chakraborty+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、臨界または亜臨界非線形項および非同次項を伴う非局所的分数階シュレーディンガー型方程式系に対して、非自明な正の解の存在を確立する。非局所的シュレーディンガー型方程式系に対して、分数階ソボレフ空間における最小化論法を用いて、非同次項 $f$ および $g$ の双対ノルムが十分に小さいとき、負のエネルギーを持つ正の解が存在することを証明する。

ABSTRACT

This paper deals with existence of a nontrivial positive solution to systems of equations involving nontrivial nonhomogeneous terms and critical or subcritical nonlinearities. Via a minimization argument we prove existence of a positive solution whose energy is negative provided that the nonhomogeneous terms are small enough in the dual norm.

研究の動機と目的

• 臨界または亜臨界非線形項を伴う分数階ラプラシアン方程式系に対して、非自明な正の解の存在を確立すること。
• 非線形項が臨界または亜臨界成長の閾値にあるとき、非同次項 $f$ と $g$ が解の存在に与える役割を分析すること。
• 非同次項 $f$ と $g$ の双対ノルムが十分に小さい条件のもとで、解のエネルギーが負であることを示すこと。
• スカラー方程式に関する先行研究を、結合された分数階ラプラシアン作用素とべき乗型非線形項を含むベクトル型系へと拡張すること。

提案手法

• 臨界ケース（$\alpha + \beta = 2^*_s$）では分数階ソボレフ空間 $\dot{H}^s(\mathbb{R}^N) \times \dot{H}^s(\mathbb{R}^N)$ に、亜臨界ケースでは $H^s(\mathbb{R}^N) \times H^s(\mathbb{R}^N)$ に問題を定式化する。
• 解空間上に定義された汎関数 $J_{f,g}$ を導入し、その臨界点が系の弱解に対応することを示す。
• エネルギー汎関数の適切な部分集合上で最小化論法を適用し、局所的最小解を求める。
• $H^s \times H^s$ 内の半径 $r$ の球上で、汎関数 $\tilde{J}_{f,g}$ の強い凸性を示すために、2階微分の下界を評価する。
• 鋭い分数階ソボレフ不等式と最良定数 $S_{\alpha+\beta}$ を用いて非線形項を制御し、球の境界上で汎関数が正であることを保証する。
• $(u,v)\|_{H^s \times H^s} = r$ 上での $\tilde{J}_{f,g}$ の下界を導出し、$\|f\|_{H^{-s}}$ と $\|g\|_{H^{-s}}$ が十分に小さい場合にはその下界が正であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同次項 $f$ と $g$ がどのような条件下で、臨界または亜臨界非線形項を伴う非局所的系に対して正の解が存在するか。
• RQ2 非線形項が臨界成長率 $2^*_s$ にあるとき、負のエネルギーを持つ解が見つけられるか。
• RQ3 双対ノルム $\|f\|_{(\dot{H}^s)'}$ と $\|g\|_{H^{-s}}$ の小ささが、解の存在性およびエネルギーにどのように影響するか。
• RQ4 分数階ラプラシアンおよび結合構造が正の解の存在に果たす役割は何か。
• RQ5 $f$ と $g$ に対して同じ小ささの仮定のもとで、解は一意的か、あるいは複数の解が存在しうるか。

主な発見

• 非同次項 $f$ と $g$ がそれぞれ $\dot{H}^s(\mathbb{R}^N)$ または $H^s(\mathbb{R}^N)$ の双対ノルムにおいて十分に小さいとき、系 $(\mathcal{S})$ に対して非自明な正の解が存在する。
• 非同次項の双対ノルム $\|f\|_{(\dot{H}^s)'}$ と $\|g\|_{H^{-s}}$ が十分に小さい条件のもとで、解のエネルギーは負であり、非自明な最小解であることを示唆する。
• $H^s \times H^s$ 内の半径 $r$ の球上で、汎関数 $\tilde{J}_{f,g}$ は強い凸性を示し、その領域内での最小解の一意性が保証される。
• $\|(u,v)\|_{H^s \times H^s} = r$ 上での $\tilde{J}_{f,g}$ の下界を確立し、$\max\{\|f\|_{H^{-s}}, \|g\|_{H^{-s}}\} \leq d$ を満たすある $d > 0$ に対してその下界が正であることを示した。
• 解の存在は、球上での $\tilde{J}_{f,g}$ の下界の正の性質と、球内での強い凸性によって保証され、$\alpha, \beta > 1$ かつ $\alpha + \beta \leq 2^*_s$ の条件下で成立する。
• 証明は鋭い分数階ソボレフ不等式に依拠し、最良定数 $S_{\alpha+\beta}$ と $S_{(\alpha,\beta)}$ の比較により、2階微分推定における二次形式の正定性を保証する。