[論文レビュー] Nonintersecting Paths, Noncolliding Diffusion Processes and Representation Theory

Makoto Katori, Hideki Tanemura|ArXiv.org|Jan 14, 2005

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非交差するランダムウォーク（悪魔的ウォーク）と非衝突ブラウン運動、および半標準ヤング盤とシュール関数を介した表現論の間の深い関係を確立する。非交差する格子路とヤング盤の間の全単射を用いて、シュール関数を用いた悪魔的ウォークの分配関数の行列式表現を導出し、拡散スケーリング極限がダイソンのブラウン運動に一致することを示す。これは、エルミート行列値拡散過程の固有値過程と分布的に同等である。

ABSTRACT

The system of one-dimensional symmetric simple random walks, in which none of walkers have met others in a given time period, is called the vicious walker model. It was introduced by Michael Fisher and applications of the model to various wetting and melting phenomena were described in his Boltzmann medal lecture. In the present report, we explain interesting connections among representation theory, probability theory, and random matrix theory using this simple diffusion particle system. Each vicious walk of $N$ walkers is represented by an $N$-tuple of nonintersecting lattice paths on the spatio-temporal plane. There is established a simple bijection between nonintersecting lattice paths and semistandard Young tableaux. Based on this bijection and some knowledge of symmetric polynomials called the Schur functions, we can give a determinantal expression to the partition function of vicious walks, which is regarded as a special case of the Karlin-McGregor formula in the probability theory (or the Lindström-Gessel-Viennot formula in the enumerative combinatorics). Due to a basic property of Schur function, we can take the diffusion scaling limit of the vicious walks and define a noncolliding system of Brownian particles. This diffusion process solves the stochastic differential equations with the drift terms acting as the repulsive two-body forces proportional to the inverse of distances between particles, and thus it is identified with Dyson's Brownian motion model. In other words, the obtained noncolliding system of Brownian particles is equivalent in distribution with the eigenvalue process of a Hermitian matrix-valued process.

研究の動機と目的

• 非交差格子路（悪魔的ウォーク）と半標準ヤング盤（SSYT）の間の全単射を確立すること。
• シュール関数を用いて悪魔的ウォークの分配関数の行列式表現を導出すること。
• 悪魔的ウォークの拡散スケーリング極限が非衝突ブラウン運動系を導くこと。
• 得られた非衝突ブラウン運動をダイソンのブラウン運動モデルとして同定すること。
• 非衝突ブラウン運動とエルミート行列値拡散過程の固有値過程との分布的同等性を示すこと。

提案手法

• 各ウォークの左向きステップ数を数え、それを時間でラベル付けすることで、N個の非交差格子路のN重組と半標準ヤング盤（SSYT）との間の全単射を構築する。
• 各ウォークごとの左向きステップ数から定まるヤング図の形状を用いて、ヤング盤の形状を定義する。
• シュール関数の理論を適用し、悪魔的ウォークモデルの分配関数を行列式として表現する。
• シュール関数の対称性および直交性の性質を活用して、拡散スケーリング極限を導出する。
• 離散的悪魔的ウォークモデルの連続極限をとることで、逆距離反発を有するSDEで記述される確率過程を導出する。
• 得られたSDEがダイソンのブラウン運動モデルと一致し、エルミート行列値伊藤過程の固有値過程と分布的に同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 悪魔的ウォークモデルにおける非交差格子路を、半標準ヤング盤へ体系的に写像する方法は何か？
• RQ2 シュール関数は、悪魔的ウォークモデルの分配関数の表現において果たす役割は何か？
• RQ3 悪魔的ウォークモデルのスケーリング極限は何か？ そして非衝突拡散過程とどのように関係するか？
• RQ4 得られた非衝突ブラウン運動は、ダイソンのブラウン運動モデルとどのように関係するか？
• RQ5 非衝突ブラウン運動プロセスは、エルミート行列値拡散過程の固有値過程と分布的に同等か？

主な発見

• N体の悪魔的ウォークの非交差格子路と半標準ヤング盤（SSYT）との間には全単射が存在し、各ウォークの左向きステップ数が列長を決定する。
• 悪魔的ウォークモデルの分配関数はシュール関数として表現され、リンストロム–ゲゼル–ヴィエンノの補題を用いて行列式表現が得られる。
• 悪魔的ウォークモデルの拡散スケーリング極限は、粒子間距離の逆数に比例するドリフト項を有するSDEで記述される非衝突ブラウン運動系を導く。
• この非衝突ブラウン運動は、エルミート行列値拡散過程の固有値過程と同一の有限次元分布を持つダイソンのブラウン運動モデルとして同定される。
• 非衝突ブラウン運動のSDEは行列イトの微積分法から導出され、ドリフト項は固有値の反発に起因する。
• 行列過程の有限変動および二次変動成分が明示的に分解され、SDE導出の整合性と固有値過程との同等性が確認された。