[論文レビュー] Nonisothermal nematic liquid crystal flows with the Ball--Majumdar free energy

Eduard Feireisl, Elisabetta Rocca+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非等温なネマチック液晶流れモデルに対して、3次元で全時間にわたる弱解の存在を確立する。このモデルは、非圧縮性ストークス方程式と、Qテンソルの非線形放物型方程式を、ボール＝マジュンダール自由エネルギーで結合したものである。モデルは特異的で物理的に現実的なポテンシャルを組み込み、Qにおける特異性と温度における退化性を、ポテンシャルの対数的爆発率の精密な解析と、輸送係数のべき乗的成長仮定の下でのエネルギー推定により解消する。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of global in time weak solutions for an evolutionary PDE system modelling nonisothermal Landau-de Gennes nematic liquid crystal (LC) flows in three dimensions of space. In our model, the incompressible Navier-Stokes system for the macroscopic velocity $\vu$ is coupled to a nonlinear convective parabolic equation describing the evolution of the Q-tensor $\QQ$, namely a tensor-valued variable representing the normalized second order moments of the probability distribution function of the LC molecules. The effects of the (absolute) temperature $\vt$ are prescribed in the form of an energy balance identity complemented with a global entropy production inequality. Compared to previous contributions, we can consider here the physically realistic singular configuration potential $f$ introduced by Ball and Majumdar. This potential gives rise to severe mathematical difficulties since it introduces, in the Q-tensor equation, a term which is at the same time singular in $\QQ$ and degenerate in $\vt$. To treat it a careful analysis of the properties of $f$, particularly of its blow-up rate, is carried out.

研究の動機と目的

• 3次元非等温ネマチック液晶流れモデルに対して、物理的に現実的なボール＝マジュンダール自由エネルギーを用いた全時間弱解の存在を確立すること。
• Qの定義域の境界に近づくと対数的に爆発する特異的かつ退化的なボール＝マジュンダールポテンシャルが引き起こす数学的困難に取り組むこと。
• 温度依存効果とQテンソル勾配による界面エネルギーを考慮したエネルギーおよびエントロピーバランスの枠組みを構築すること。
• 温度の退化性（ϑ > 0 almost everywhere, inf ϑ が 0 である可能性あり）とQテンソルの特異性を、洗練された事前推定により取り扱うこと。
• 全エネルギー保存則と弱いエントロピー不等式を用いることで、標準的な熱方程式に代えて、熱力学的原則を尊重する。

提案手法

• 系を連立する偏微分方程式系として定式化する：速度uに対する非圧縮性ストークス方程式、QテンソルQに対する非線形対流型放物型方程式、およびエントロピー不等式を含むエネルギーバランス。
• ボール＝マジュンダール自由エネルギー ψB(ϑ, Q) = ϑf(Q) + G(Q) を用いる。ここで f(Q) は、Qテンソルの物理的定義域上で定義された凸かつ特異的な自由エネルギー関数であり、境界で対数的に爆発する。
• 標準的な熱方程式に代えて、全エネルギー保存則と弱いエントロピー不等式を導入することで、速度の二乗項による数学的非可解性を回避する。
• ラプラスの漸近法を用いて、高温または極端なQ状態の極限における特異的ポテンシャル f(Q) の挙動を分析する。
• 熱伝導率、比熱、回転粘性係数にべき乗的成長条件を課すことにより、コンパクト性の議論に必要な十分な事前推定を得る。
• 技術的複雑性を最小限に抑えるために周期的境界条件を導入し、エネルギーバランスにおける未知変数としての圧力の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的に現実的なボール＝マジュンダール特異的ポテンシャルを有する非等温ネマチック液晶モデルに対して、全時間弱解を確立できるか？
• RQ2 Qにおける特異性とϑにおける退化性を同時に数学的に取り扱い、一様な事前推定を導出するにはどうすればよいか？
• RQ3 f(Q) の対数的爆発率がエネルギーおよびエントロピーの上限構築に果たす役割は何か？
• RQ4 標準的な熱方程式が保存則に置き換えられる場合、エネルギーおよびエントロピーバランスを一貫してどのように定式化できるか？
• RQ5 Qテンソル方程式における特異的・退化的項を制御するために、輸送係数に必要な成長条件は何か？

主な発見

• 本稿は、3次元非等温ネマチック液晶流れ系に対して、ボール＝マジュンダール自由エネルギーを用いた全時間にわたる弱解の存在を証明する。
• 解は、局所的不等式ではなく、空間時間統合形のエネルギーバランスとエントロピー不等式を満たす。これは、局所的ではなく、全的なバランスを反映している。
• 特異的ポテンシャル f(Q) は、Qの固有値のいずれかが −1/3 に近づくと対数的に爆発することが示され、これが事前推定の導出に重要な役割を果たす。
• 熱伝導率、比熱、回転粘性係数にべき乗的成長仮定を課すことにより、温度の退化性（ϑ > 0 a.e.）とQの特異性が管理可能であることが解析的に示された。
• 周期的境界条件と圧力の精密な制御により、エネルギーバランスにおける圧力の明示的出現を効果的に処理した。
• ラプラスの方法による漸近解析により、高温または極端なQ状態の極限において、ポテンシャル関連積分が有界であることが確認され、推定の有効性が保証された。