[論文レビュー] Nonisotopic Symplectic Tori in the Fiber Class of Elliptic Surfaces

Stefano Vidussi|ArXiv.org|Jan 30, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、修正されたホフリンク外部領域に基づく新しいリンク手術構成を用いて、$n \geq 3$ に対して楕円的表面 $E(n)$ のファイバー類 $q[F]$ における無限族のシンプレクティックトーラス $T^{p,q}$ を構成する。これらのトーラスは互いに同相でなく、$E(n)$ の任意の向きを保つ微分同相写像によって関係付けられない。これにより、同じシンプレクティック型およびホモロジー型を持つシンプレクティック4次元多様体に無限に多くの異なる滑らかさ構造が存在することが示された。

ABSTRACT

The purpose of this note is to present a construction of an infinite family of symplectic tori T_{p} representing an arbitrary multiple of the homology class of the fiber of an elliptic surface E(n), for n > 2, such that, for i eq j, there is no orientation-preserving diffeomorphism between (E(n),T_{i}) and (E(n),T_{j}). In particular, these tori are mutually nonisotopic. This complements previous results of Fintushel and Stern, showing in particular the existence of such phenomenon for a primitive class.

研究の動機と目的

• 楕円的表面 $E(n)$ ($n \geq 3$) のファイバー類 $q[F]$ におけるシンプレクティックトーラスの無限族を構成すること。
• これらのトーラスが、周囲多様体の向きを保つ微分同相写像でさえも互いに同相でないことを示すこと。
• FintushelとSternの先行結果を拡張し、以前の手法が失敗した原始的ホモロジー類（すなわち $q=1$）をカバーすること。
• 分岐被覆を避ける新しい構成法を提供し、修正されたホフリンク外部領域におけるリンク手術を用いること。
• Seiberg-Witten不変量を用いて、得られたシンプレクティック4次元多様体が互いに微分同相でないことを示すこと。

提案手法

• ボロメアンリングのブレード構造を $p$ 個の3紐ブレードと最初の紐に追加される $q-1$ 個の紐で変更することで、二重インデックスの4成分リンク $L_{p,q}$ の族を構成する。
• シンプレクティックトーラス $T^{p,q}$ を、$L_{p,q}$ の外部におけるファイバーテーラスの核心として定義し、これにシンプレクティックリンク手術を施して $E(n)$ に埋め込む。
• 各 $T^{p,q}$ に沿って有理型楕円的表面 $E(1)$ のコピーを貼り付けるリンク手術を実行し、結果として得られるシンプレクティック4次元多様体は、$(E(n), T^{p,q})$ の微分同相型にのみ依存する。
• リンク $L_{p,q}$ の多変数アレクサンダー多項式を用いて、得られた多様体のSeiberg-Witten不変量を計算し、$p$ が異なる場合に不変量が異なることを示す。
• レムマ5.1で示されるラウレンス多項式に関する新しい不等式を適用し、アレクサンダー多項式の特殊化における非ゼロ係数の数が $p$ と共に発散することを証明し、それにより異なるSeiberg-Witten不変量が得られることを示す。
• 異なる $p$ が異なる微分同相型をもたらすため、トーラス $T^{p,q}$ は滑らかさの意味で同相でないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円的表面における原始的ホモロジー類を表すシンプレクティックトーラスを、互いに同相でないように構成することは可能か？
• RQ2 これらのトーラスを同相性の意味で区別するのではなく、周囲多様体の向きを保つ微分同相写像の不在によって区別することは可能か？
• RQ3 分岐被覆を避ける構成法を用いて、$E(n)$ のファイバー類における非同相なシンプレクティック代表元を生成することは可能か？
• RQ4 異なるリンク $L_{p,q}$ におけるリンク手術によって得られるシンプレクティック4次元多様体を区別するための位相的不変量として何が使えるか？
• RQ5 アレクサンダー多項式における非ゼロ係数の数の増加は、得られた多様体のSeiberg-Witten不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 各 $q \geq 1$ および $n \geq 3$ に対して、$p \in \mathbb{N}_0$ の無限族のシンプレクティックトーラス $T^{p,q}$ が、$E(n)$ の類 $q[F]$ を表す。
• これらのトーラスは互いに同相でなく、$i \neq j$ に対して $(E(n), T^{(i,q)})$ と $(E(n), T^{(j,q)})$ の間には向きを保つ微分同相写像が存在しない。
• 本構成法は、$p$ 重のブレード変更と $q$ 重の紐追加を施したホフリンクから導かれるリンク族 $L_{p,q}$ におけるリンク手術に基づく。
• 得られたシンプレクティック4次元多様体のSeiberg-Witten不変量は、$p$ が異なる場合に異なる。これは、特殊化されたアレクサンダー多項式における非ゼロ係数の数の発散に起因する。
• $p \to \infty$ のとき、Seiberg-Witten不変量の計算における非ゼロ係数の数 $\tilde{\tau}_p$ は発散するため、無限に多くの微分同相でない多様体が存在することが証明される。
• 本手法は分岐被覆を避け、原始的ホモロジー類における非同相なシンプレクティック曲面を構成する新しい方法を提供し、FintushelとSternの結果を拡張する。