[論文レビュー] Nonisotropically balanced domains, Lempert function estimates, and the spectral Nevanlinna-Pick problem

Gautam Bharali|ArXiv.org|Jan 6, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、平衡領域を一般化した$Λ$-非等方的平衡領域を導入し、特に対称多変数円板$G_n$およびスペクトル単位球$Ω_n$において、Lempert関数の鋭い上界および下界を導出する。これらの推定を用いて、$G_n$および$Ω_n$における2点Nevalinna-Pick補間問題の必要十分条件を確立し、2点スペクトルNevalinna-Pick問題を完全に解く。

ABSTRACT

We introduce the notion of a λ-nonisotropically balanced domain and show that the symmetrized polydisc in C^n, n \geq 2, is an example of such a domain. Given a λ-nonisotropically balanced domain Ω, we derive effective estimates from above and from below for the Lempert function at (0,z)\inΩ imesΩ. We use these estimates to derive certain conditions for realising a two-point Nevanlinna-Pick interpolation in the symmetrized polydisc. Applying the ideas used in the derivation of our Lempert function estimates to the so-called spectral unit ball Ω_n, we deduce: a) a formula for the Lempert function at (0,W)\inΩ_n imesΩ_n; and b) a necessary and sufficient condition for realising a two-point Nevanlinna- Pick interpolation in the spectral unit ball.

研究の動機と目的

• 平衡領域の一般化として、$Λ$-非等方的平衡領域のクラスを導入・研究し、Lempert関数の解析を容易にする。
• 特に対称多変数円板$G_n$を含む、$Λ$-非等方的平衡領域$Ω$におけるLempert関数$χ_Ω(0,z)$の有効な上界および下界を導出する。
• これらの推定を応用し、対称多変数円板$G_n$における2点Nevalinna-Pick補間問題の可解性に関する必要十分条件を導出する。
• この手法をスペクトル単位球$Ω_n$へ拡張し、そのLempert関数の公式および2点補間問題の完全な基準を導出する。

提案手法

• 各$\zeta \in \overline{D}$に対して$\zeta \mapsto (\zeta^{\lambda_1}z_1, \dots, \zeta^{\lambda_n}z_n)$の下での重み付き斉次性条件を用いて、$Λ$-非等方的平衡領域の概念を導入する。
• 解析的円板との関係を確立するため、Lempert関数の定義$\widetilde{\kappa}_\Omega(z_1,z_2) = \inf \{ p_D(0,\zeta) : \exists \varphi \in \mathcal{O}(D;\Omega), \varphi(0)=z_1, \varphi(\zeta)=z_2 \}$を用いる。
• 領域のMinkowski汎関数$h_{\Lambda,n}(z)$を定義し、$Ω$が$Λ$-非等方的平衡領域である場合、$\tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(z)) = \widetilde{\kappa}_\Omega(0,z)$を満たすように関係づける。
• 対称多変数円板$G_n$に理論を適用し、$(1,2,\dots,n)$-非等方的平衡領域としての性質を示し、$\widetilde{\kappa}_{G_n}(0,z)$の推定を導出する。
• Vesentiniの定理を用いて、スペクトル単位球$\Omega_n$が擬強凸であることを証明し、一般推定を適用して$\widetilde{\kappa}_{\Omega_n}(0,W)$の公式を導出する。
• 不等式$\tanh^{-1}(r(W)) \leq p_D(\zeta_1,\zeta_2)$を用いて、$\Omega_n$における2点補間の必要十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Omega$にどのような条件が成立すれば、Lempert関数$\widetilde{\kappa}_\Omega(0,z)$が有効な上界および下界をもつのか？
• RQ2 $Λ$-非等方的平衡領域におけるLempert関数の推定を、対称多変数円板$G_n$における2点Nevalinna-Pick補間問題の解法にどのように応用できるか？
• RQ3 スペクトル単位球$\Omega_n$におけるLempert関数$\widetilde{\kappa}_{\Omega_n}(0,W)$の正確な公式は何か？
• RQ4 ホロモルフィック写像$F: D \to \Omega_n$が$F(\zeta_1) = W_1$, $F(\zeta_2) = W_2$を満たすための必要十分条件は何か？
• RQ5 スペクトル半径$r(W)$は、$\Omega_n$におけるLempert関数とどのように関係しているか？

主な発見

• 対称多変数円板$G_n$は$(1,2,\dots,n)$-非等方的平衡領域であり、この新規領域クラスの重要な例を提供する。
• 任意の$Λ$-非等方的平衡領域$Ω$に対して、$h_{\Lambda,n}(z) < 1$のとき、$\tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(z)) \leq \widetilde{\kappa}_\Omega(0,z) \leq \tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(z))$を満たす。この不等式により鋭い推定が得られる。
• 対称多変数円板$G_n$における2点Nevalinna-Pick補間問題の必要十分条件は、$\tanh^{-1}(h_{\Lambda,n}(p)) \leq p_D(\zeta_1,\zeta_2)$である。ここで$h_{\Lambda,n}(p)$は対称多変数円板のMinkowski汎関数である。
• スペクトル単位球$\Omega_n$は擬強凸である。これは、スペクトル半径$r(W)$が$M_n(\mathbb{C})$上で擬上半連続であるためであり、補間に適した領域であることが保証される。
• $\Omega_n$におけるLempert関数の公式は、$\widetilde{\kappa}_{\Omega_n}(0,W) = \tanh^{-1}\left( \inf\left\{ t > 0 : \frac{1}{t} \sup_{|z|=1/t} |F_{s(W)}(z)| < 1 \right\} \right)$で与えられる。ここで$s(W)$は$W$の特徴多項式の係数ベクトルである。
• $\Omega_n$における2点Nevalinna-Pick補間問題は、$\tanh^{-1}(r(W)) \leq p_D(\zeta_1,\zeta_2)$が成り立つ場合に限り可解であり、$r(W) = 0$の場合はスケーリングおよび自己同型の合成により等号が成立する。